Este es el segundo de tres apuntes de trigonometría. En el primero definimos seno, coseno y tangente. Acá los ponemos a trabajar: con dos datos de un triángulo rectángulo se calculan todos los demás, y con eso se miden alturas y distancias que nadie podría medir con una cinta.
Al terminar vas a poder:
Decidir qué razón usar en cada caso, en lugar de probar las tres.
Resolver un triángulo rectángulo completo a partir de dos datos.
Interpretar los ángulos de elevación y de depresión y armar el triángulo del problema.
Encadenar dos triángulos cuando un solo triángulo no alcanza.
Lo del lado no es un capricho. Si solo te dan los ángulos, hay infinitos triángulos que los cumplen: son todos semejantes entre sí y solo se diferencian en el tamaño. El lado es el que fija la escala.
Con dos datos, el camino es siempre el mismo:
Dibujar y rotular. Marcá el ángulo con el que trabajás y anotá qué lado es opuesto, cuál adyacente y cuál la hipotenusa.
Elegir la razón que conecta el dato con la incógnita. Una sola, y sale de mirar qué dos lados intervienen.
Despejar y controlar. Que la hipotenusa quede como el lado más largo y que los ángulos agudos sumen \(90^\circ\).
El paso 2 es donde todo el mundo duda. Este árbol lo resuelve sin probar las tres razones a ver cuál sirve:
¿Qué razón uso?
Rotulá los tres lados desde el ángulo con el que vas a trabajar: opuesto, adyacente e hipotenusa.
Después identificá los dos lados que te importan: el que conocés y el que buscás. La razón sale de esos dos, y de ningún otro.
Entre esos dos lados, ¿está la hipotenusa?
Tangente.
\(\tan \alpha = \dfrac{\text{op}}{\text{ady}}\). Es la única razón que no toca la hipotenusa.
Ese otro lado, ¿es el opuesto al ángulo?
Seno.
\(\sin \alpha = \dfrac{\text{op}}{\text{hip}}\).
Coseno.
\(\cos \alpha = \dfrac{\text{ady}}{\text{hip}}\).
Elegida la razón, queda una última bifurcación, y es fácil: si la incógnita es un lado, despejás; si es el ángulo, aplicás la tecla inversa (\(\arcsin\), \(\arccos\), \(\arctan\)).
Gema
El árbol entero cabe en una línea: si entre los dos lados que te importan aparece la hipotenusa, es seno o coseno; si son los dos catetos, es tangente. Todo lo demás es despejar.
Y hay dos atajos que ahorran calculadora: el otro ángulo agudo sale de \(\beta = 90^\circ - \alpha\), y el tercer lado, de Pitágoras. Conviene usarlos al final, como control.
Casi todos los problemas de esta unidad vienen disfrazados de la misma manera: alguien mira algo, y el enunciado te da el ángulo de esa mirada. Hay dos nombres para eso, y los dos se miden desde la horizontal.
Ángulo de elevación: el que forma la horizontal con la visual de un observador que mira hacia arriba.
Ángulo de depresión: el que forma la horizontal con la visual de un observador que mira hacia abajo.
En los dos casos, la visual es la hipotenusa del triángulo que se arma. Eso ya te ubica un lado antes de leer el resto del enunciado.
Elevación: el observador mira hacia arriba y la visual es la hipotenusa.
Acá está el detalle que más vale de toda la sección. Cuando alguien mira desde arriba hacia abajo, el ángulo de depresión que da el enunciado no es un ángulo interior del triángulo. Pero es igual al ángulo de elevación medido desde abajo, porque las dos horizontales son paralelas y esos ángulos son alternos internos.
Los dos ángulos son iguales: alternos internos entre dos horizontales paralelas.
La consecuencia práctica: el ángulo de depresión se puede usar abajo, dentro del triángulo, como si fuera de elevación. No hay que restarle nada a \(90^\circ\) ni inventar cuentas: se copia tal cual al otro vértice.
Elvira
El error que más veo: usar el ángulo de depresión como si fuera el ángulo interior arriba, en la punta de la torre. No lo es. Ese interior vale \(90^\circ - \delta\). Si no querés pensarlo, bajalo abajo y listo.
Un detalle más, chico pero caro: si el enunciado menciona la altura del observador —una persona de 1.75 m, un teodolito sobre un trípode—, el triángulo empieza a la altura de los ojos, no en el piso. Esa altura se resta primero y se vuelve a sumar al final.
El techo de un quincho forma un ángulo de \(30^\circ\) con la horizontal, y el quincho tiene 14 m de fondo. Calcular la longitud del techo y la altura que alcanza.
El fondo es el cateto adyacente al ángulo de 30 grados.
El fondo de 14 m es el cateto adyacente. El techo \(L\) es la hipotenusa y la altura \(H\), el cateto opuesto.
Adyacente e hipotenusa: aparece la hipotenusa y el otro es el adyacente, así que coseno.
$$ \cos 30^\circ = \frac{14}{L} $$Primero \(L\) pasa multiplicando, después \(\cos 30^\circ\) pasa dividiendo.
$$ L = \frac{14}{\cos 30^\circ} \approx \frac{14}{0.8660} \approx 16.17 \text{ m} $$Ahora intervienen los dos catetos: tangente.
$$ \tan 30^\circ = \frac{H}{14} \;\Longrightarrow\; H = 14 \cdot \tan 30^\circ \approx 8.08 \text{ m} $$Interpretación. El techo mide $$\boxed{L \approx 16.17 \text{ m} \quad \text{y alcanza} \quad H \approx 8.08 \text{ m}}$$ El techo es más largo que el fondo, como tiene que ser: es la hipotenusa.
Con una escalera de 5.8 m hay que alcanzar una lámpara ubicada a 4 m de altura sobre una pared. ¿Qué ángulo de inclinación tiene la escalera y a qué distancia de la pared se apoya el pie?
La pared y el piso forman el ángulo recto. La escalera es la hipotenusa (5.8 m) y la altura de la lámpara, el cateto opuesto al ángulo \(\alpha\) que la escalera forma con el piso.
Opuesto e hipotenusa: seno. Y como la incógnita es el ángulo, va la tecla inversa.
$$ \sin \alpha = \frac{4}{5.8} \approx 0.6897 $$Conviene Pitágoras y no una razón: usa los datos originales y no arrastra el redondeo del ángulo.
$$ d = \sqrt{5.8^2 - 4^2} = \sqrt{33.64 - 16} = \sqrt{17.64} = 4.2 \text{ m} $$Interpretación. La escalera va inclinada $$\boxed{\alpha \approx 43^\circ 36' \quad \text{con el pie a} \quad d = 4.2 \text{ m de la pared}}$$ Un ángulo de \(44^\circ\) es bastante tendido: en seguridad se recomiendan unos \(75^\circ\), así que esta escalera está más acostada de lo aconsejable.
Una antena proyecta una sombra de 238 m cuando los rayos del sol forman un ángulo de \(40^\circ\) con el suelo. Calcular su altura.
El rayo de sol es la visual: entra por la punta de la antena y toca el suelo al final de la sombra. Ahí, en la punta de la sombra, está el ángulo de \(40^\circ\).
La sombra (238 m) es el cateto adyacente y la antena, el opuesto. Dos catetos: tangente.
$$ \tan 40^\circ = \frac{h}{238} $$Interpretación. La antena mide $$\boxed{h \approx 199.7 \text{ m}}$$ Como \(40^\circ\) es menor que \(45^\circ\), la sombra tenía que salir más larga que la antena. Da 238 contra 200: coherente.
Gema
Control mental que no falla: con \(45^\circ\) los dos catetos son iguales. Si el ángulo es menor, el opuesto sale más chico que el adyacente; si es mayor, más grande. Con eso detectás un resultado absurdo antes de entregarlo.
Desde la cima de un faro de 8 m de alto se divisa una lancha con un ángulo de depresión de \(30^\circ\). Calcular la distancia entre la lancha y el pie del faro.
El \(30^\circ\) está entre la horizontal de la cima y la visual, o sea fuera del triángulo. Por alternos internos, el ángulo de elevación desde la lancha también vale \(30^\circ\), y ese sí es interior.
La altura del faro (8 m) es el cateto opuesto y la distancia buscada, el adyacente. Dos catetos: tangente.
$$ \tan 30^\circ = \frac{8}{d} $$Interpretación. La lancha está a $$\boxed{d \approx 13.86 \text{ m}}$$ del pie del faro. Si alguien hubiera usado el \(30^\circ\) como ángulo interior arriba, habría calculado \(8 \cdot \tan 30^\circ \approx 4.62\) m: tres veces menos, y sin ninguna señal de alarma en la cuenta.
Desde el patio, a 15 m de la casa, una persona mide un ángulo de elevación de \(23^\circ\) hacia el extremo superior de una antena, y de \(18^\circ\) hacia el techo donde la antena está apoyada. Hallar la altura de la antena y la distancia desde el observador hasta el techo.
Dos visuales desde el mismo punto: la antena es la diferencia de alturas.
Los dos comparten el mismo cateto adyacente —los 15 m— y el mismo vértice de observación. Lo único que cambia es la altura a la que llega la visual.
Adyacente conocido y opuesto buscado: tangente.
$$ h_{\text{antena}} = 15 \cdot \tan 23^\circ \approx 15 \cdot 0.4245 \approx 6.37 \text{ m} $$La antena es el tramo que va del techo al extremo superior.
$$ h = 6.37 - 4.87 \approx 1.49 \text{ m} $$Es la visual de \(18^\circ\), o sea la hipotenusa del triángulo chico. Adyacente e hipotenusa: coseno.
$$ \cos 18^\circ = \frac{15}{v} \;\Longrightarrow\; v = \frac{15}{\cos 18^\circ} \approx 15.77 \text{ m} $$Interpretación. La antena mide $$\boxed{h \approx 1.49 \text{ m} \quad \text{y la visual al techo} \quad v \approx 15.77 \text{ m}}$$ Fijate que \(5^\circ\) de diferencia en el ángulo dieron apenas metro y medio de antena: a esa distancia, los ángulos chicos rinden poco, y por eso conviene no redondearlos.
Elvira
Los cuatro que siguen no son errores de cuenta: son errores de dibujo. Todos se evitan haciendo el esquema antes de tocar la calculadora, y todos dan resultados que parecen razonables. Esa es la parte peligrosa.
Error: usar el ángulo de depresión como ángulo interior del triángulo, en el vértice de arriba. Con el faro del Ejemplo 4: \(d = 8 \cdot \tan 30^\circ \approx 4.62\) m.
Correcto: ese ángulo está entre la horizontal y la visual, fuera del triángulo. O lo bajás al vértice de abajo por alternos internos, o usás su complemento \(90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\) arriba. Las dos vías dan \(d \approx 13.86\) m.
Error: olvidar la altura del observador. Si una persona de 1.75 m mira la punta de un poste de 18.25 m, calcular con los 18.25 m completos.
Correcto: el triángulo arranca a la altura de los ojos, así que el cateto opuesto mide \(18.25 - 1.75 = 16.5\) m. La altura del observador se resta al principio, y si lo que se busca es una altura total, se vuelve a sumar al final.
Error: despejar mal cuando la incógnita está en el denominador. De \(\tan 30^\circ = \frac{8}{x}\) concluir \(x = 8 \cdot \tan 30^\circ\).
Correcto: el \(x\) está dividiendo, así que primero pasa multiplicando: \(x \cdot \tan 30^\circ = 8\), y recién entonces \(x = \frac{8}{\tan 30^\circ}\). Un signo de alarma barato: si el resultado te da más chico que un lado que ya conocías y no debería, revisá el despeje.
Error: redondear a mitad de camino. Calcular \(\tan 23^\circ \approx 0.4\), seguir con ese valor y encadenar dos o tres cuentas más.
Correcto: arrastrar los decimales que da la calculadora y redondear solo el resultado final. En el Ejemplo 5 la antena sale de una resta entre dos números parecidos: redondeando antes, ese metro y medio puede convertirse en cualquier cosa.
| Conozco | Busco | Uso |
|---|---|---|
| hipotenusa y ángulo | cateto opuesto | \(\text{op} = \text{hip} \cdot \sin \alpha\) |
| hipotenusa y ángulo | cateto adyacente | \(\text{ady} = \text{hip} \cdot \cos \alpha\) |
| un cateto y el ángulo | el otro cateto | \(\text{op} = \text{ady} \cdot \tan \alpha\) |
| un cateto y el ángulo | la hipotenusa | \(\text{hip} = \frac{\text{op}}{\sin \alpha}\) o \(\frac{\text{ady}}{\cos \alpha}\) |
| dos lados | un ángulo | la tecla inversa: \(\arcsin\), \(\arccos\), \(\arctan\) |
Y las tres ideas que hay que tener a mano al leer cualquier enunciado:
Hacen falta dos datos y al menos un lado. Con dos ángulos solos, el triángulo no queda determinado.
La visual siempre es la hipotenusa, mires hacia arriba o hacia abajo.
El ángulo de depresión se copia tal cual abajo: es igual al de elevación por alternos internos.
Elvira y Gema
Regla para los siete: dibujá el esquema antes que nada, aunque el enunciado ya traiga uno. Media hoja de dibujo ahorra el 90 por ciento de los errores de esta unidad. El último no se resuelve con la calculadora.
Los 452 m son el cateto adyacente y la altura, el opuesto: dos catetos, tangente.
$$ \tan 32.17^\circ = \frac{h}{452} $$Resultado: $$ \boxed{h \approx 284.3 \text{ m}} $$
Verificación. El ángulo es menor que \(45^\circ\), así que la altura tenía que salir menor que los 452 m de distancia. Da 284: coherente.
Resultado: $$ \boxed{h \approx 2.72 \text{ m}, \quad d \approx 1.27 \text{ m}} $$
Verificación. \(2.72^2 + 1.27^2 \approx 7.40 + 1.61 = 9.01 \approx 3^2\). Y como el ángulo es grande, la escalera queda parada: sube mucho y se aleja poco.
Por alternos internos, desde el barco el acantilado se ve con una elevación de \(25^\circ\), y ese ángulo sí es interior al triángulo.
Desde el barco: los 70 m son el opuesto y la distancia, el adyacente.
$$ \tan 25^\circ = \frac{70}{d} $$Resultado: $$ \boxed{d \approx 150.1 \text{ m}} $$
Verificación. Con un ángulo de depresión chico, el barco tiene que estar lejos. Si hubieras multiplicado en lugar de dividir, te habría dado 32.6 m: menos de la mitad de la altura del acantilado, algo imposible para una visual tan rasante.
El triángulo arranca a la altura de los ojos, no en el piso.
$$ h = 18.25 - 1.75 = 16.5 \text{ m} $$Resultado: $$ \boxed{d \approx 28.58 \text{ m}} $$
Verificación. Sin descontar la estatura habría dado \(18.25 / \tan 30^\circ \approx 31.61\) m: tres metros de diferencia por un dato de una línea.
Se usa el dato original de 50 m, no la altura recién calculada: menos redondeo arrastrado.
$$ \cos 53^\circ = \frac{50}{v} \;\Longrightarrow\; v = \frac{50}{\cos 53^\circ} \approx 83.08 \text{ m} $$Resultado: $$ \boxed{h \approx 66.35 \text{ m}, \quad v \approx 83.08 \text{ m}} $$
Verificación. \(50^2 + 66.35^2 \approx 2500 + 4402 = 6902\) y \(83.08^2 \approx 6902\). La visual es el lado más largo, como corresponde a una hipotenusa.
Hay dos incógnitas: la altura \(h\) y la distancia \(x\) del primer punto a la base. Ningún triángulo se puede resolver solo, así que van los dos.
La misma torre, vista desde dos distancias distintas.
$$ h = x \cdot \tan 40^\circ \qquad h = (x + 30) \cdot \tan 25^\circ $$Las dos expresiones valen lo mismo, así que se igualan y se agrupan los términos con \(x\).
$$ x = \frac{30 \cdot \tan 25^\circ}{\tan 40^\circ - \tan 25^\circ} \approx \frac{13.99}{0.3728} \approx 37.53 \text{ m} $$Resultado: $$ \boxed{h \approx 31.49 \text{ m}} $$
Verificación. Con la otra ecuación: \((37.53 + 30) \cdot \tan 25^\circ \approx 67.53 \cdot 0.4663 \approx 31.49\) m. Las dos visuales llegan a la misma punta, que era la condición del problema.
Los dos ángulos son en realidad un dato: sabiendo uno, el otro sale de \(90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\). No agrega información nueva.
Un triángulo con catetos 1 m y 1.19 m y otro con 10 m y 11.9 m tienen exactamente los mismos ángulos. Son semejantes: mismo dibujo, distinta escala.
$$ \tan 50^\circ \approx 1.19 = \frac{1.19}{1} = \frac{11.9}{10} $$Como las razones trigonométricas dependen solo del ángulo, ningún cálculo puede distinguir entre esos infinitos triángulos.
Resultado: $$ \boxed{\text{No. Hacen falta dos datos y al menos uno tiene que ser un lado.}} $$
Interpretación. Es la misma idea del apunte anterior, leída al revés: que la razón no dependa del tamaño es lo que hace útil a la trigonometría, y también lo que obliga a que alguien mida un lado en algún momento.
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