Este es el primero de cuatro apuntes sobre cuádricas. Las cónicas te enseñaron a leer curvas en el plano; acá damos el salto al espacio, donde una ecuación de segundo grado ya no dibuja una curva sino una superficie.
Arrancamos por las dos más amables: la esfera y el elipsoide. Con ellas se aprende la técnica que después vale para todas: cortar la superficie con planos y mirar qué queda.
Al terminar vas a poder:
Reconocer una ecuación de segundo grado en tres variables y saber qué superficie describe.
Hallar trazas con los planos coordenados y con planos paralelos a ellos.
Completar cuadrados para llevar cualquier ecuación a la forma canónica.
Graficar esferas y elipsoides identificando centro, semiejes y vértices.
En el plano trabajaste con ecuaciones de segundo grado en dos variables. Cada una de esas ecuaciones dibujaba una curva: circunferencia, elipse, parábola o hipérbola.
Si a esa misma idea le agregás una tercera variable, el objeto que aparece deja de ser una curva y pasa a ser una superficie. Ese es el objeto de estudio de esta unidad.
Los coeficientes son números reales y \(A,\,B,\,C,\,D,\,E,\,F\) no pueden ser todos cero a la vez (si lo fueran, no habría ningún término de segundo grado y la ecuación sería la de un plano).
La cuádrica es la analogía tridimensional de la cónica. Y no es solo un parecido de fórmulas: las secciones que se obtienen al cortar una cuádrica con un plano son, justamente, cónicas. Esa es la llave de todo el apunte.
Dos variables dibujan una curva; tres variables dibujan una superficie
| En el plano | En el espacio | |
|---|---|---|
| Variables | \(x,\ y\) | \(x,\ y,\ z\) |
| La ecuación describe | una curva | una superficie |
| Se llama | cónica | cuádrica |
| Ejemplos | circunferencia, elipse | esfera, elipsoide |
Una ecuación funciona como un filtro: de todos los puntos del espacio deja pasar solo los que la cumplen. En el plano, ese filtro deja una curva. En el espacio, deja una superficie: hay una condición y tres libertades, así que sobran dos grados de libertad.
Los términos \(Dxy\), \(Eyz\) y \(Fxz\) se llaman términos cruzados o mixtos. Cuando aparecen, la superficie está rotada respecto de los ejes coordenados y hace falta un cambio de base para estudiarla.
En este apunte, y en toda la unidad, vamos a trabajar con el caso sin términos cruzados, es decir con \(D = E = F = 0\). Ahí la ecuación queda así:
Esta es la familia con la que se trabaja en el práctico: superficies cuyos ejes de simetría son paralelos a los ejes coordenados. Todo lo que sigue —esfera, elipsoide, hiperboloides, conos, paraboloides y cilindros— sale de acá según qué signos y qué coeficientes tengan \(A\), \(B\) y \(C\).
Gema
Antes de hacer una sola cuenta, mirá si hay \(xy\), \(xz\) o \(yz\). Si no los hay, la superficie está "derecha" respecto de los ejes y todo se resuelve completando cuadrados. Si los hay, está rotada y es otro tema.
Dibujar una superficie en el espacio a mano parece imposible. La técnica que lo hace posible es simple y es la misma que usa una tomografía computada: cortar en rebanadas y mirar cada rebanada por separado.
La traza es la curva que queda al cortar la superficie con un plano
Las trazas más importantes son las que se obtienen con los planos coordenados. Se las llama trazas principales y se calculan anulando una variable por vez:
| Se reemplaza | Plano | La traza vive en |
|---|---|---|
| \(x = 0\) | plano \(YZ\) | el plano \(YZ\), en las variables \(y,\ z\) |
| \(y = 0\) | plano \(XZ\) | el plano \(XZ\), en las variables \(x,\ z\) |
| \(z = 0\) | plano \(XY\) | el plano \(XY\), en las variables \(x,\ y\) |
Pero con tres trazas casi nunca alcanza para ver la forma. Lo que realmente arma el dibujo es cortar con planos paralelos a los coordenados y ver cómo evoluciona la curva a medida que el plano se corre:
Una traza por cada plano paralelo: así se reconstruye la superficie
Sustituir en la ecuación de la superficie la variable por el valor del plano (por ejemplo, poner \(z = k\) en todos los lugares donde aparece \(z\)).
Queda una ecuación en dos variables. Se la lleva a forma canónica de cónica: pasar constantes, dividir, completar cuadrados si hace falta.
Puede ser una elipse, una hipérbola, una parábola, un par de rectas, un punto o el conjunto vacío. Casi siempre el resultado depende del valor de \(k\): hay que analizar los casos.
Tomemos la superficie \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\) y cortémosla con planos horizontales \(z = k\), para ver el mecanismo completo antes de estudiar cada cuádrica.
Restamos \(k^2\) en ambos miembros, porque \(k^2\) es un número fijo (el plano ya está elegido):
$$ x^2 + y^2 = 9 - k^2 $$El primer miembro, \(x^2 + y^2\), es una suma de cuadrados: nunca puede ser negativo. Entonces todo depende de cuánto valga \(9 - k^2\).
Caso \(k = 0\): queda \(x^2 + y^2 = 9\). Es una circunferencia de radio \(3\) en el plano \(XY\).
Caso \(k = 2\): queda \(x^2 + y^2 = 9 - 4 = 5\). Circunferencia de radio \(\sqrt{5} \approx 2{,}24\), más chica que la anterior.
Caso \(k = 3\): queda \(x^2 + y^2 = 9 - 9 = 0\). Una suma de cuadrados da cero solo si cada término es cero, así que \(x = 0\) e \(y = 0\): la traza se reduce al punto \((0,\,0,\,3)\).
Caso \(k = 4\): queda \(x^2 + y^2 = 9 - 16 = -7\). Imposible: una suma de cuadrados no puede dar negativo. No hay traza, el corte da el conjunto vacío.
Circunferencias que van achicándose desde el radio \(3\) hasta desaparecer en \(k = \pm 3\). Esa película es exactamente una esfera de radio \(3\) centrada en el origen.
Interpretación. Cada corte por separado no dice mucho, pero la secuencia completa reconstruye la superficie: $$\boxed{x^2 + y^2 = 9 - k^2 \ \text{ con } \ |k| \leq 3}$$
Gema
El truco es no pensar en tres dimensiones de una. Pensá en una película: el plano \(z = k\) va subiendo y en cada fotograma aparece una curva. Si podés describir cómo cambia esa curva, ya describiste la superficie.
La traza con \(z = k\) es lo que queda al cortar: solo los puntos de la superficie que efectivamente tienen \(z = k\). La proyección (la sombra) aplasta toda la superficie contra el plano. En la esfera \(x^2+y^2+z^2=9\), la traza con \(z = 2\) es una circunferencia de radio \(\sqrt{5}\), mientras que la sombra de la esfera entera sobre el plano \(XY\) es un círculo de radio \(3\). No son lo mismo.
La esfera es la circunferencia mudada al espacio. La definición es literalmente la misma, solo que ahora el punto tiene tres coordenadas.
Todo punto P de la esfera está a distancia r del centro C
No hace falta aprenderse la fórmula: sale sola de la definición de distancia. Tomemos un punto genérico \(P = (x,\,y,\,z)\) de la esfera.
Que \(P\) esté en la esfera significa, exactamente, que su distancia al centro vale \(r\):
$$ d(P,\,C) = r $$La distancia entre dos puntos de \(\mathbb{R}^3\) es la raíz de la suma de los cuadrados de las diferencias de coordenadas:
$$ \sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2 + (z-w)^2} = r $$Es una operación reversible acá: los dos miembros son no negativos (una raíz cuadrada nunca es negativa y \(r > 0\)), así que elevar al cuadrado no agrega ni pierde soluciones.
$$ \left( \sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2 + (z-w)^2} \right)^2 = r^2 $$Como el radicando es no negativo, \(\left(\sqrt{A}\right)^2 = A\):
$$ (x-h)^2 + (y-k)^2 + (z-w)^2 = r^2 $$Ecuación canónica de la esfera
$$ (x-h)^2 + (y-k)^2 + (z-w)^2 = r^2 $$ $$ x^2 + y^2 + z^2 = r^2 \quad \text{si el centro es el origen} $$Si desarrollás los tres cuadrados, aparece la forma en la que suele venir la ecuación en los ejercicios. Hagamos el desarrollo completo.
Usamos \((u - v)^2 = u^2 - 2uv + v^2\) en los tres:
$$ x^2 - 2hx + h^2 + y^2 - 2ky + k^2 + z^2 - 2wz + w^2 = r^2 $$Primero los cuadrados, después los lineales, al final las constantes:
$$ x^2 + y^2 + z^2 \;-\; 2h\,x \;-\; 2k\,y \;-\; 2w\,z \;+\; \left( h^2 + k^2 + w^2 - r^2 \right) = 0 $$Llamando \(G = -2h\), \(H = -2k\), \(I = -2w\) y \(J = h^2 + k^2 + w^2 - r^2\), queda:
$$ x^2 + y^2 + z^2 + Gx + Hy + Iz + J = 0 $$
Elvira
Acá se cae mucha gente con \(9x^2 + 9y^2 + 9z^2 = 36\). No es una esfera de radio \(6\): primero dividís todo por \(9\) y recién ahí leés. Queda \(x^2+y^2+z^2 = 4\), o sea radio \(2\). El coeficiente hay que sacarlo antes de mirar el segundo miembro.
El camino de ida (canónica a general) es desarrollar. El de vuelta (general a canónica) es completar cuadrados, y es la herramienta que más se usa en toda la unidad. La identidad que la sostiene es esta:
De la igualdad anterior restamos \(\dfrac{G^2}{4}\) en ambos miembros:
$$ x^2 + Gx = \left( x + \frac{G}{2} \right)^2 - \frac{G^2}{4} $$Completar cuadrados
$$ x^2 + Gx \;=\; \left( x + \frac{G}{2} \right)^{2} - \frac{G^{2}}{4} $$La mitad del coeficiente lineal va adentro del paréntesis; su cuadrado se resta afuera para no cambiar nada.
Se aplica una vez por variable. Al terminar, el primer miembro queda como suma de tres cuadrados y el segundo es un número: ese número es \(r^2\).
| Valor de \(m\) | Qué es | Por qué |
|---|---|---|
| \(m > 0\) | esfera de radio \(r = \sqrt{m}\) | hay infinitos puntos a esa distancia del centro |
| \(m = 0\) | un solo punto: el centro | una suma de cuadrados vale \(0\) solo si cada término es \(0\) |
| \(m < 0\) | conjunto vacío | una suma de cuadrados nunca es negativa |
Cortemos la esfera centrada en el origen \(x^2+y^2+z^2 = r^2\) con el plano \(z = k\). Reemplazando y despejando:
Con \(|k| < r\) es una circunferencia de radio \(\sqrt{r^2-k^2}\); con \(|k| = r\) se reduce a un punto (ahí el plano es tangente a la esfera); con \(|k| > r\) no hay intersección. Lo mismo vale para cortes con \(x = k\) o \(y = k\): toda sección plana de una esfera es una circunferencia.
Cuando el plano pasa por el centro, el radio de la traza es el máximo posible e igual a \(r\): esa circunferencia se llama circunferencia máxima (el "ecuador" de la esfera). Las demás se llaman circunferencias menores.
\(d(P,C) < r\) → \(P\) es interior. \(d(P,C) = r\) → \(P\) está sobre la esfera. \(d(P,C) > r\) → \(P\) es exterior.
Si a una esfera de goma la estirás distinto en cada dirección, obtenés un elipsoide. Matemáticamente, eso es dividir cada variable por un número propio antes de elevar al cuadrado.
Ecuación canónica del elipsoide
$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \qquad \text{con } a,\,b,\,c > 0 $$Los seis vértices y los tres semiejes del elipsoide
El elipsoide es una superficie cerrada y acotada: queda encerrada en la caja \(-a \leq x \leq a\), \(-b \leq y \leq b\), \(-c \leq z \leq c\). Eso se ve directo en la ecuación: como los tres términos son no negativos y suman \(1\), ninguno puede pasarse de \(1\), y de \(\frac{x^2}{a^2} \leq 1\) sale \(|x| \leq a\).
Centro de simetría: \(C = (0,\,0,\,0)\) en la forma canónica.
Vértices: los seis puntos donde la superficie corta a sus ejes de simetría: \(V_1 = (a,0,0)\), \(V_2 = (-a,0,0)\), \(V_3 = (0,b,0)\), \(V_4 = (0,-b,0)\), \(V_5 = (0,0,c)\), \(V_6 = (0,0,-c)\).
Planos de simetría: los tres planos coordenados \(XY\), \(XZ\) e \(YZ\).
La simetría se lee en la ecuación sin hacer cuentas: como \(x\), \(y\), \(z\) aparecen solo elevadas al cuadrado, cambiarle el signo a cualquiera de ellas no altera la igualdad. Por eso, si \((x,y,z)\) pertenece al elipsoide, también pertenecen \((-x,y,z)\), \((x,-y,z)\) y \((x,y,-z)\).
Gema
Ojo con el denominador: en \(\frac{x^2}{16}\) el semieje no es \(16\), es \(\sqrt{16} = 4\). Lo que está abajo es \(a^2\), nunca \(a\). Si te olvidás de sacar la raíz, el dibujo te va a salir con las medidas al cuadrado.
Las tres son elipses. Veamos con detalle la del plano \(XY\) y después las otras dos por analogía.
Porque \(\dfrac{0^2}{c^2} = \dfrac{0}{c^2} = 0\), y \(c \neq 0\) por hipótesis:
$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$Es una elipse de semiejes \(a\) y \(b\) en el plano \(XY\).
| Corte | Ecuación de la traza | Qué es |
|---|---|---|
| \(z = 0\) | \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) | elipse de semiejes \(a\) y \(b\) |
| \(y = 0\) | \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1\) | elipse de semiejes \(a\) y \(c\) |
| \(x = 0\) | \(\dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1\) | elipse de semiejes \(b\) y \(c\) |
Acá aparece la discusión interesante. Cortamos con \(z = k\) y seguimos el desarrollo completo.
El término \(\dfrac{k^2}{c^2}\) ya no tiene variables: es un número. Lo restamos en ambos miembros:
$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 - \frac{k^2}{c^2} $$El primer miembro es suma de cuadrados dividida por números positivos: nunca es negativo. Entonces:
Si \(|k| < c\): entonces \(k^2 < c^2\), con lo cual \(\dfrac{k^2}{c^2} < 1\) y el segundo miembro es positivo. La traza es una elipse.
Si \(|k| = c\): entonces \(\dfrac{k^2}{c^2} = 1\) y el segundo miembro vale \(0\). La traza se reduce al punto \((0,\,0,\,k)\), que es un vértice. El plano es tangente al elipsoide.
Si \(|k| > c\): el segundo miembro es negativo y no hay solución: conjunto vacío. El plano pasa por afuera.
Llamemos \(t = 1 - \dfrac{k^2}{c^2} > 0\). Para llevar la traza a forma canónica dividimos toda la ecuación por \(t\):
$$ \frac{x^2}{a^2\,t} + \frac{y^2}{b^2\,t} = 1 $$Los semiejes de esa elipse son entonces \(a\sqrt{t}\) y \(b\sqrt{t}\): más chicos que \(a\) y \(b\), y tanto más chicos cuanto más se aleja el plano del centro.
Con \(x = k\) la traza existe si \(|k| \leq a\); con \(y = k\), si \(|k| \leq b\). Siempre se compara \(|k|\) con el semieje del mismo eje que el plano está cortando.
Según cuántos semiejes coincidan, el elipsoide recibe nombres distintos:
| Condición | Superficie |
|---|---|
| \(a\), \(b\) y \(c\) todos distintos | elipsoide escaleno (el caso general) |
| dos semiejes iguales | elipsoide de revolución: se genera girando una elipse alrededor del eje del semieje que quedó distinto |
| \(a = b = c\) | esfera de radio \(a\) |
La esfera, entonces, no es una cuádrica aparte: es el elipsoide más simétrico posible. Y si el centro no está en el origen sino en \(C = (h,\,k,\,w)\), cada variable se corre igual que en las cónicas:
Error: leer el centro de \(\dfrac{(x-3)^2}{4} + \dfrac{(y+1)^2}{9} + \dfrac{(z-2)^2}{1} = 1\) como \(C = (3,\,1,\,2)\).
Correcto: la fórmula tiene restas. Hay que escribir \((y+1)^2 = \big(y - (-1)\big)^2\), así que la segunda coordenada del centro es \(-1\) y el centro es \(C = (3,\,-1,\,2)\).
Dibujar e identificar la superficie \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\), indicando las trazas sobre los planos coordenados.
Los tres cuadrados tienen coeficiente \(1\), no hay términos lineales ni cruzados y el segundo miembro es positivo. Es la forma \(x^2+y^2+z^2 = r^2\):
$$ r^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad r = \sqrt{9} = 3 $$Es una esfera de centro \(C = (0,\,0,\,0)\) y radio \(3\).
Circunferencia de centro \((0,0)\) y radio \(3\) en el plano \(XY\).
Circunferencia de radio \(3\) en el plano \(XZ\).
Circunferencia de radio \(3\) en el plano \(YZ\).
Esfera de radio 3: las tres trazas principales son circunferencias máximas
El vértice \((0,\,0,\,3)\) debería estar en la superficie. Reemplazamos:
$$ 0^2 + 0^2 + 3^2 = 9 \quad \checkmark $$Interpretación. Las tres trazas principales son circunferencias del mismo radio porque el plano de corte pasa siempre por el centro: son tres circunferencias máximas de la esfera.
Hallar el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan 5 unidades del punto \(P = (2,\,1,\,7)\), y escribir la ecuación en forma general.
Llamamos \(Q = (x,\,y,\,z)\) a un punto genérico del lugar geométrico. La condición pedida es:
$$ d(Q,\,P) = 5 $$Los dos miembros son no negativos, así que la equivalencia se mantiene:
$$ (x-2)^2 + (y-1)^2 + (z-7)^2 = 25 $$Ya se reconoce: es una esfera de centro \((2,\,1,\,7)\) y radio \(5\).
Las constantes son \(4 + 1 + 49 - 25\):
$$ 4 + 1 + 49 - 25 = 29 $$ $$ x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 2y - 14z + 29 = 0 $$Interpretación. "Equidistar 5 unidades de un punto" es exactamente la definición de esfera: el lugar geométrico es la superficie esférica (no el sólido, solo la cáscara).
Reducir a la forma canónica \(x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 4y - 2z - 11 = 0\), identificar la superficie y decidir si el origen es interior, exterior o pertenece a ella.
Los coeficientes de \(x^2\), \(y^2\) y \(z^2\) valen todos \(1\): son iguales y no nulos. No hay términos cruzados. La candidata es una esfera.
Sumamos \(11\) en ambos miembros para dejar el término independiente del otro lado:
$$ \left( x^2 - 6x \right) + \left( y^2 + 4y \right) + \left( z^2 - 2z \right) = 11 $$El coeficiente lineal es \(-6\). Su mitad es \(-3\) y el cuadrado de esa mitad es \(9\):
$$ x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9 $$Se puede comprobar desarrollando: \((x-3)^2 - 9 = x^2 - 6x + 9 - 9 = x^2 - 6x\).
Coeficiente lineal \(4\), mitad \(2\), cuadrado de la mitad \(4\):
$$ y^2 + 4y = (y+2)^2 - 4 $$Coeficiente lineal \(-2\), mitad \(-1\), cuadrado de la mitad \(1\):
$$ z^2 - 2z = (z-1)^2 - 1 $$Sumamos \(9 + 4 + 1 = 14\) en ambos miembros:
$$ (x-3)^2 + (y+2)^2 + (z-1)^2 = 11 + 14 $$ $$ (x-3)^2 + (y+2)^2 + (z-1)^2 = 25 $$Comparando con \((x-h)^2+(y-k)^2+(z-w)^2 = r^2\), y escribiendo \((y+2)^2 = \big(y-(-2)\big)^2\):
$$ C = (3,\,-2,\,1), \qquad r = \sqrt{25} = 5 $$Calculamos la distancia del origen \(O = (0,0,0)\) al centro:
$$ d(O,\,C) = \sqrt{(3-0)^2 + (-2-0)^2 + (1-0)^2} $$ $$ = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14} \approx 3{,}74 $$Como \(\sqrt{14} < 5\), el origen está más cerca del centro que la superficie: es un punto interior.
Verificación rápida. Si llamamos \(F(x,y,z)\) al primer miembro de la ecuación general, el desarrollo de arriba muestra que \(F(P) = d(P,C)^2 - r^2\). Entonces el signo de \(F\) decide la posición: negativo es interior, cero es sobre la superficie, positivo es exterior. Acá \(F(0,0,0) = -11 < 0\), lo que confirma que el origen es interior.
Elvira
Cada vez que completás un cuadrado restás algo del lado izquierdo. Si después no lo compensás al pasar al segundo miembro, el radio te sale mal. Escribí siempre todos los restos juntos antes de sumarlos: es donde más se pierden puntos.
Completamos cuadrados en las tres variables:
$$ x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1, \qquad y^2 + 4y = (y+2)^2 - 4, \qquad z^2 - 6z = (z-3)^2 - 9 $$Reemplazamos y agrupamos las constantes \(-1-4-9+14 = 0\):
$$ (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 0 $$Una suma de cuadrados vale cero solo si cada término vale cero. La "superficie" es un único punto:
$$ \boxed{(1,\,-2,\,3)} $$Es el caso degenerado \(m = 0\). Si en lugar de \(+14\) hubiera \(+15\), el segundo miembro daría \(-1\) y no habría ningún punto.
Clasificar y graficar \(x^2 + 4y^2 + 4z^2 = 16\). Hallar además la intersección con los planos \(x = 2\) y \(x = -2\), e identificar el lugar geométrico obtenido.
Para que el segundo miembro sea \(1\), dividimos toda la ecuación por \(16\):
$$ \frac{x^2}{16} + \frac{4y^2}{16} + \frac{4z^2}{16} = \frac{16}{16} $$En el segundo término \(\dfrac{4y^2}{16} = \dfrac{y^2}{4}\), porque \(4\) y \(16\) tienen factor común \(4\). Lo mismo con el tercero:
$$ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{4} = 1 $$Los denominadores son \(a^2 = 16\), \(b^2 = 4\) y \(c^2 = 4\). Sacando raíz:
$$ a = \sqrt{16} = 4, \qquad b = \sqrt{4} = 2, \qquad c = \sqrt{4} = 2 $$Los tres términos suman \(1\) y todos son positivos: es un elipsoide centrado en el origen. Como \(b = c\), es un elipsoide de revolución alrededor del eje \(x\).
Con \(z = 0\): \(\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{4} = 1\), elipse de semiejes \(4\) y \(2\).
Con \(y = 0\): \(\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{z^2}{4} = 1\), elipse de semiejes \(4\) y \(2\).
Con \(x = 0\): \(\dfrac{y^2}{4} + \dfrac{z^2}{4} = 1\), es decir \(y^2 + z^2 = 4\): circunferencia de radio \(2\).
Conviene trabajar sobre la ecuación original para evitar fracciones. Reemplazamos \(x = 2\):
$$ 2^2 + 4y^2 + 4z^2 = 16 $$ $$ 4 + 4y^2 + 4z^2 = 16 $$Restamos \(4\) en ambos miembros y después dividimos todo por \(4\):
$$ 4y^2 + 4z^2 = 12 $$ $$ y^2 + z^2 = 3 $$Es una circunferencia de radio \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\), en el plano \(x = 2\) (paralelo al plano \(YZ\)) y centrada en \((2,\,0,\,0)\).
Reemplazando \(x = -2\), el término queda \((-2)^2 = 4\), idéntico al anterior:
$$ (-2)^2 + 4y^2 + 4z^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad y^2 + z^2 = 3 $$La misma circunferencia, ahora centrada en \((-2,\,0,\,0)\). Era esperable por la simetría respecto del plano \(YZ\).
El corte con x = 2 da la circunferencia y² + z² = 3
Con \(x = 4\): \(16 + 4y^2 + 4z^2 = 16\), o sea \(y^2 + z^2 = 0\). Un solo punto: el vértice \((4,0,0)\).
Con \(x = 5\): \(25 + 4y^2 + 4z^2 = 16\), o sea \(y^2 + z^2 = -\dfrac{9}{4}\). Imposible: conjunto vacío. Coherente con \(|k| \leq a = 4\).
Interpretación. Cortes perpendiculares al eje \(x\) dan siempre circunferencias porque los otros dos semiejes son iguales: la superficie se genera haciendo girar la elipse \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\) alrededor del eje \(x\).
Reducir a la forma canónica \(4x^2 + 9y^2 + 36z^2 - 8x + 36y - 104 = 0\), clasificar la superficie y hallar la traza con el plano \(z = 1\).
Son \(4\), \(9\) y \(36\): los tres positivos pero distintos. Positivos y sin términos cruzados anticipa un elipsoide; distintos, que no es una esfera.
Sumamos \(104\) en ambos miembros:
$$ \left( 4x^2 - 8x \right) + \left( 9y^2 + 36y \right) + 36z^2 = 104 $$La variable \(z\) no tiene término lineal, así que ya está lista: no hace falta completar cuadrado en \(z\).
Este es el paso clave: para completar cuadrados el coeficiente del término cuadrático debe ser \(1\) dentro del paréntesis.
$$ 4\left( x^2 - 2x \right) + 9\left( y^2 + 4y \right) + 36z^2 = 104 $$En \(x\): coeficiente lineal \(-2\), mitad \(-1\), cuadrado \(1\). En \(y\): coeficiente lineal \(4\), mitad \(2\), cuadrado \(4\).
$$ x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1 $$ $$ y^2 + 4y = (y+2)^2 - 4 $$Acá es donde el factor común multiplica también al resto: \(4 \cdot (-1) = -4\) y \(9 \cdot (-4) = -36\).
$$ 4(x-1)^2 - 4 + 9(y+2)^2 - 36 + 36z^2 = 104 $$Sumamos \(4 + 36 = 40\) en ambos miembros:
$$ 4(x-1)^2 + 9(y+2)^2 + 36z^2 = 104 + 40 $$ $$ 4(x-1)^2 + 9(y+2)^2 + 36z^2 = 144 $$\(\dfrac{4}{144} = \dfrac{1}{36}\), \(\dfrac{9}{144} = \dfrac{1}{16}\), \(\dfrac{36}{144} = \dfrac{1}{4}\):
$$ \frac{(x-1)^2}{36} + \frac{(y+2)^2}{16} + \frac{z^2}{4} = 1 $$Es un elipsoide con centro fuera del origen y los tres semiejes distintos (escaleno).
Elipsoide de centro (1, −2, 0) y semiejes 6, 4 y 2
Conviene usar la versión del paso 7, sin fracciones:
$$ 4(x-1)^2 + 9(y+2)^2 + 36 \cdot 1^2 = 144 $$ $$ 4(x-1)^2 + 9(y+2)^2 + 36 = 144 $$Restamos \(36\) y después dividimos todo por \(108\):
$$ 4(x-1)^2 + 9(y+2)^2 = 108 $$ $$ \frac{4(x-1)^2}{108} + \frac{9(y+2)^2}{108} = 1 $$ $$ \frac{(x-1)^2}{27} + \frac{(y+2)^2}{12} = 1 $$Es una elipse en el plano \(z = 1\), de centro \((1,\,-2,\,1)\) y semiejes \(\sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}20\) y \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46\).
Como \(c = 2\) y cortamos en \(z = 1\), se cumple \(|k| < c\): tiene que existir traza y ser una elipse más chica que la del plano \(z = 0\) (que tiene semiejes \(6\) y \(4\)). En efecto, \(5{,}20 < 6\) y \(3{,}46 < 4\).
Interpretación. El desplazamiento del centro no cambia la forma: los semiejes siguen valiendo \(6\), \(4\) y \(2\). Lo único que cambió es dónde está apoyada la superficie.
Error: completar cuadrados sin sacar antes el factor común, en \(4x^2 - 8x\), y escribir \(4x^2 - 8x = (2x-2)^2 - 4\) mezclando pasos.
Correcto: primero se saca factor común, \(4x^2 - 8x = 4(x^2 - 2x)\), y recién ahí se completa adentro: \(4\big[(x-1)^2 - 1\big] = 4(x-1)^2 - 4\). El factor de afuera multiplica también al resto.
Error: ver \(x^2 + y^2 + z^2 + \dots = 0\) y concluir automáticamente que es una esfera.
Correcto: hay que completar cuadrados y mirar el segundo miembro. Si da positivo es esfera; si da cero es un solo punto; si da negativo no hay ningún punto. El nombre de la superficie no se decide antes de terminar la cuenta.
Error: leer los semiejes directo del denominador y decir que \(\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} + \dfrac{z^2}{4} = 1\) tiene semiejes \(9\), \(25\) y \(4\).
Correcto: abajo está \(a^2\), no \(a\). Los semiejes son \(\sqrt{9} = 3\), \(\sqrt{25} = 5\) y \(\sqrt{4} = 2\).
Error: dar por sentado que todo plano \(z = k\) produce una traza.
Correcto: la esfera y el elipsoide son superficies acotadas. Un plano que pasa por afuera no las toca. Siempre hay que comparar \(|k|\) con el semieje correspondiente y separar los casos.
Error: confundir el centro con los signos que aparecen escritos, y leer \((z+5)^2\) como \(w = 5\).
Correcto: la forma canónica tiene restas. Reescribiendo \((z+5)^2 = \big(z-(-5)\big)^2\) se ve que la coordenada del centro es \(w = -5\).
| Ecuación | Cómo se reconoce | Superficie |
|---|---|---|
| \((x-h)^2+(y-k)^2+(z-w)^2 = r^2\) | los tres coeficientes cuadráticos iguales y positivos | esfera de centro \((h,k,w)\) y radio \(r\) |
| \(\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}+\dfrac{(z-w)^2}{c^2} = 1\) | tres cuadrados positivos, suma igual a \(1\), denominadores distintos | elipsoide de semiejes \(a\), \(b\), \(c\) |
| suma de cuadrados \(= 0\) | el segundo miembro se anula al completar cuadrados | un único punto (el centro) |
| suma de cuadrados \(< 0\) | el segundo miembro queda negativo | conjunto vacío |
Las dos fórmulas de este apunte
$$ (x-h)^2 + (y-k)^2 + (z-w)^2 = r^2 \quad (\text{esfera}) $$ $$ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} + \frac{(z-w)^2}{c^2} = 1 \quad (\text{elipsoide}) $$Y el método, que es siempre el mismo y va a servir para todas las cuádricas de la unidad:
Mirar los signos y coeficientes de los términos cuadráticos.
Completar cuadrados en cada variable que tenga término lineal.
Dividir para dejar el segundo miembro en \(1\) (o en \(0\)) y leer los elementos.
Calcular las trazas y armar el dibujo con ellas.
Gema y Elvira
Si te sale completar cuadrados y sabés discutir el signo del segundo miembro, ya tenés la mitad de la unidad resuelta. Lo que cambia en los próximos apuntes son los signos de los términos cuadráticos: el procedimiento es idéntico.
Los primeros son de aplicación directa; los últimos combinan varias ideas del apunte. Resolvelos en papel antes de abrir la respuesta.
Reemplazamos \(h = -1\), \(k = 4\), \(w = 2\), \(r = 3\), cuidando los signos: \(x - (-1) = x + 1\).
$$ (x+1)^2 + (y-4)^2 + (z-2)^2 = 9 $$Las constantes dan \(1 + 16 + 4 - 9 = 12\):
$$ x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 8y - 4z + 12 = 0 $$Como \(\sqrt{21} > 3\), el origen es exterior a la esfera.
Resultado: $$\boxed{(x+1)^2 + (y-4)^2 + (z-2)^2 = 9 \;\;\text{· el origen es exterior}}$$
Verificación. Reemplazando el origen en la forma general: \(0+0+0+0-0-0+12 = 12 > 0\), signo positivo, consistente con "exterior".
Mitades: \(2\), \(-3\) y \(1\); sus cuadrados: \(4\), \(9\) y \(1\).
$$ x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4 $$ $$ y^2 - 6y = (y-3)^2 - 9 $$ $$ z^2 + 2z = (z+1)^2 - 1 $$Sumamos \(4 + 9 + 1 = 14\) en ambos miembros:
$$ (x+2)^2 + (y-3)^2 + (z+1)^2 = 25 $$Resultado: $$\boxed{(x+2)^2 + (y-3)^2 + (z+1)^2 = 25}$$
Verificación. El punto \((3,\,3,\,-1)\) está a distancia \(5\) del centro sobre el eje \(x\). Reemplazando en la ecuación original: \(9 + 9 + 1 + 12 - 18 - 2 - 11 = 0\). Pertenece.
Simplificando: \(\dfrac{16}{144} = \dfrac{1}{9}\), \(\dfrac{9}{144} = \dfrac{1}{16}\), \(\dfrac{144}{144} = 1\).
$$ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} + \frac{z^2}{1} = 1 $$Elipsoide escaleno centrado en el origen: los tres semiejes son distintos.
Con \(z = 0\): \(\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{16} = 1\), elipse de semiejes \(3\) y \(4\) en el plano \(XY\).
Con \(y = 0\): \(\dfrac{x^2}{9} + z^2 = 1\), elipse de semiejes \(3\) y \(1\) en el plano \(XZ\).
Con \(x = 0\): \(\dfrac{y^2}{16} + z^2 = 1\), elipse de semiejes \(4\) y \(1\) en el plano \(YZ\).
Hay traza cuando \(1 - k^2 \geq 0\), o sea \(k^2 \leq 1\), o sea \(|k| \leq 1\). Con \(|k| < 1\) es una elipse; con \(|k| = 1\) se reduce a los vértices \((0,0,1)\) y \((0,0,-1)\); con \(|k| > 1\) no hay intersección.
Resultado: $$\boxed{\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} + z^2 = 1 \;\;\text{· hay traza si } |k| \leq 1}$$
Para un punto genérico \(P = (x,\,y,\,z)\), "equidistar" significa que las dos distancias son iguales:
$$ d(P,\,P_1) = d(P,\,P_2) $$ $$ \sqrt{(x-3)^2 + y^2 + (z+1)^2} = \sqrt{(x+2)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2} $$Los dos miembros son raíces cuadradas, es decir no negativos: la operación es reversible.
$$ (x-3)^2 + y^2 + (z+1)^2 = (x+2)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2 $$\(x^2\), \(y^2\) y \(z^2\) aparecen idénticos en los dos miembros, así que se simplifican. Este es el motivo por el que el resultado va a ser una ecuación de primer grado.
$$ -6x + 2z + 10 = 4x - 4y - 2z + 9 $$Sumamos \(6x - 2z - 10\) en ambos miembros:
$$ 0 = 10x - 4y - 4z - 1 $$ $$ 10x - 4y - 4z - 1 = 0 $$Resultado: $$\boxed{10x - 4y - 4z - 1 = 0 \;\;\text{· un plano}}$$
Verificación. Es el plano mediador del segmento \(\overline{P_1P_2}\). Dos controles: el vector normal \((10,-4,-4)\) es paralelo a \(\vec{P_1P_2} = (-5,\,2,\,2)\), porque \((10,-4,-4) = -2\,(-5,2,2)\); y el punto medio \(M = \left(\tfrac{1}{2},\,1,\,0\right)\) satisface la ecuación: \(10 \cdot \tfrac{1}{2} - 4 \cdot 1 - 0 - 1 = 5 - 4 - 1 = 0\).
Ya está en forma canónica: esfera de centro \(C = (0,\,3,\,-2)\) y radio \(r = \sqrt{9} = 3\).
Como \(\sqrt{18} > 3\), el punto \(A\) es exterior.
Como \(\sqrt{2} < 3\), el punto \(B\) es interior.
Resultado: $$\boxed{A \text{ exterior},\qquad B \text{ interior}}$$
Verificación por el signo. Evaluando el primer miembro menos el segundo: para \(A\) da \(1 + 1 + 16 - 9 = 9 > 0\) (exterior) y para \(B\) da \(1 + 1 + 0 - 9 = -7 < 0\) (interior). Coincide con las distancias.
En \(x\): mitad de \(2\) es \(1\), su cuadrado \(1\). En \(y\): mitad de \(-4\) es \(-2\), su cuadrado \(4\).
$$ x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1, \qquad y^2 - 4y = (y-2)^2 - 4 $$ $$ 9\Big[ (x+1)^2 - 1 \Big] + 4\Big[ (y-2)^2 - 4 \Big] + 36z^2 = 11 $$\(9 \cdot (-1) = -9\) y \(4 \cdot (-4) = -16\). Sumamos \(9 + 16 = 25\) en ambos miembros:
$$ 9(x+1)^2 - 9 + 4(y-2)^2 - 16 + 36z^2 = 11 $$ $$ 9(x+1)^2 + 4(y-2)^2 + 36z^2 = 36 $$Resultado: $$\boxed{\frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y-2)^2}{9} + z^2 = 1 \;\;\text{· elipsoide}}$$
Verificación. El vértice \((-1,\,5,\,0)\), obtenido moviéndose \(b = 3\) desde el centro en la dirección de \(y\), debe cumplir la ecuación original: \(9 \cdot 1 + 4 \cdot 25 + 0 + 18\,(-1) - 16 \cdot 5 - 11 = 9 + 100 - 18 - 80 - 11 = 0\). Correcto.
Mitades: \(-2\), \(1\) y \(-3\); sus cuadrados: \(4\), \(1\) y \(9\).
$$ x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4 $$ $$ y^2 + 2y = (y+1)^2 - 1 $$ $$ z^2 - 6z = (z-3)^2 - 9 $$Sumamos \(4 + 1 + 9 = 14\) en ambos miembros:
$$ (x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-3)^2 = 14 - m $$El primer miembro es una suma de cuadrados: nunca es negativo y vale cero solo si los tres paréntesis se anulan.
Si \(14 - m > 0\), es decir \(m < 14\): esfera de centro \((2,\,-1,\,3)\) y radio \(r = \sqrt{14-m}\).
Si \(14 - m = 0\), es decir \(m = 14\): el conjunto se reduce al punto \((2,\,-1,\,3)\).
Si \(14 - m < 0\), es decir \(m > 14\): no hay ningún punto que cumpla la ecuación; el lugar geométrico es vacío.
Resultado: $$\boxed{m < 14 \Rightarrow \text{esfera}; \quad m = 14 \Rightarrow \text{un punto}; \quad m > 14 \Rightarrow \text{vacío}}$$
Verificación. Con \(m = -11\) queda \(14-(-11) = 25\): esfera de radio \(5\) centrada en \((2,\,-1,\,3)\). Con \(m = 15\) queda \(-1\), imposible, tal como anticipa el análisis.
¿Encontraste algo que no cuadra? Un signo, un despeje, un gráfico que no carga, un link roto — contámelo y lo corrijo. Este apunte se hace mejor entre todos: cada aviso suma para que vos y toda la comunidad Insighters puedan estudiar con el mejor material posible. ¡Gracias!