Una ecuación te pide un número. Una inecuación te pide todos los números que cumplen una condición. Ese cambio de mentalidad es todo el tema: la respuesta ya no es un valor, es un conjunto.
Este apunte arranca desde cero, con el lenguaje de intervalos, y termina en inecuaciones con módulo y condiciones de existencia como las que aparecen en los finales.
Al terminar vas a poder:
Escribir conjuntos solución en notación de intervalos y operarlos con unión, intersección y complemento.
Resolver inecuaciones lineales y dobles, controlando el cambio de sentido de la desigualdad.
Aplicar la regla de los signos a productos y cocientes, con todas las condiciones de existencia.
Atacar inecuaciones con módulo, cuadrados perfectos y restricciones de dominio.
Antes de resolver nada, jugá un segundo con esto. ¿Qué números podés meter en la caja para que la afirmación sea verdadera?
Si fuera \(\square + 3 = 5\), la respuesta sería una sola: el \(2\). Pero con el \(>\) sirven el \(2{,}1\), el \(3\), el \(100\), el \(2{,}0001\)... infinitos números. Todos los mayores que \(2\).
Esa es la diferencia de fondo: la respuesta de una inecuación no es un número, es un tramo de la recta numérica. Y para escribir tramos usamos intervalos.
En \(\mathbb{R}\) está definida una relación de orden que escribimos \(<\). Decir \(a < b\) significa que, en la recta numérica, \(a\) queda a la izquierda de \(b\). Esa lectura geométrica es la que vas a usar todo el tiempo.
\(a < b\) es "\(a\) menor que \(b\)"; \(a > b\) es "\(a\) mayor que \(b\)" y equivale a \(b < a\). Con la barrita, \(a \leq b\) significa \((a < b) \lor (a = b)\): alcanza con que se cumpla una de las dos.
Dados \(a, b \in \mathbb{R}\) con \(a < b\), estos son todos los intervalos que vas a necesitar:
| Notación | Conjunto | Nombre |
|---|---|---|
| \((a,b)\) | \(\{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}\) | abierto |
| \((a,b]\) | \(\{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}\) | semiabierto |
| \([a,b)\) | \(\{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}\) | semiabierto |
| \([a,b]\) | \(\{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}\) | cerrado |
| \((a,+\infty)\) | \(\{x \in \mathbb{R} : x > a\}\) | infinito |
| \([a,+\infty)\) | \(\{x \in \mathbb{R} : x \geq a\}\) | infinito |
| \((-\infty,b)\) | \(\{x \in \mathbb{R} : x < b\}\) | infinito |
| \((-\infty,b]\) | \(\{x \in \mathbb{R} : x \leq b\}\) | infinito |
La regla para leerlos es una sola: corchete = el extremo entra (va con \(\leq\) o \(\geq\)); paréntesis = el extremo no entra (va con \(<\) o \(>\)). En el dibujo, el punto lleno incluye y el punto vacío excluye.
Punto lleno: el extremo pertenece. Punto vacío: no pertenece.
Error: escribir \([-\infty, 4]\) o \((2, +\infty]\), poniendo corchete del lado del infinito.
Correcto: \((-\infty, 4]\) y \((2, +\infty)\). El infinito no es un número: es un símbolo que indica "todos los reales hacia ese lado". No se puede incluir algo que no existe, así que siempre lleva paréntesis.
Un intervalo es un conjunto, así que se combina con las operaciones de conjuntos. Las tres que vas a usar en cada ejercicio son estas.
La unión junta: alcanza con pertenecer a uno de los dos. Pensala como "sumar territorio".
Unión: se pinta todo lo que esté en A o en B
La intersección recorta: hay que pertenecer a los dos a la vez. Es "el territorio compartido".
Intersección: solo la parte que se superpone
Cuidado con un detalle: no siempre la unión se puede escribir como un solo intervalo. Si los tramos están separados, la unión queda expresada con el símbolo \(\cup\):
El complemento de \(A\) (tomando como universal \(\mathcal{U} = \mathbb{R}\)) es todo lo que no está en \(A\). Se escribe \(A'\):
Al complementar, los extremos se dan vuelta: lleno pasa a vacío
Fijate en el detalle fino: como el \(2\) pertenecía a \(A\), no puede pertenecer a \(A'\), y por eso pasa de corchete a paréntesis. En cambio el \(-2\), que estaba afuera de \(A\), ahora entra con corchete.
Un caso que aparece seguido: si \(A = \{-3\}\) es un conjunto de un solo punto, entonces
Gema
Truco para no equivocarte nunca con corchetes: preguntate si el número extremo satisface la inecuación original. Si al reemplazarlo la desigualdad da verdadera, va corchete. Si da falsa o rompe algo (como dividir por cero), va paréntesis.
Resolver una inecuación lineal es casi igual que resolver una ecuación: agrupás las \(x\) de un lado y los números del otro. Pero hay una diferencia que cambia todo, y está en las propiedades del orden.
| Propiedad | Enunciado | Qué te permite |
|---|---|---|
| Suma | \(a < b \Rightarrow a + c < b + c\) | Sumar o restar lo mismo a ambos miembros |
| Producto por positivo | \(a < b \ \land \ c > 0 \Rightarrow a\,c < b\,c\) | Multiplicar o dividir sin tocar el símbolo |
| Producto por negativo | \(a < b \ \land \ c < 0 \Rightarrow a\,c > b\,c\) | Multiplicar o dividir invirtiendo el símbolo |
| Transitiva | \(a < b \ \land \ b < c \Rightarrow a < c\) | Encadenar desigualdades |
| Tricotomía | Vale una y sólo una: \(a = b\), \(a < b\), \(b < a\) | Saber que siempre hay respuesta |
La tercera propiedad es la que más caro se paga. Mirala con números concretos: sabemos que \(3 < 5\). Si multiplico ambos lados por \(-1\):
Tiene sentido geométrico: multiplicar por \(-1\) es espejar la recta numérica respecto del cero. Lo que estaba a la izquierda queda a la derecha. Si el orden se invierte, el símbolo también.
Resolver \(2x + 4 < x - 5\) y dar el conjunto solución.
Sumamos \(-x\) a los dos lados. Como es una suma, el símbolo no se toca.
$$ \begin{aligned} 2x + 4 - x \ &< \ x - 5 - x \\[2pt] x + 4 \ &< \ -5 \end{aligned} $$Sumamos \(-4\) a los dos lados. Otra vez es una suma: el símbolo sigue igual.
$$ \begin{aligned} x + 4 - 4 \ &< \ -5 - 4 \\[2pt] x \ &< \ -9 \end{aligned} $$Todos los reales menores estrictos que \(-9\). Como el \(-9\) no entra, va paréntesis.
$$ S = \{x \in \mathbb{R} : x < -9\} = \boxed{(-\infty,\,-9)} $$S = (−∞, −9)
Verificación. Probamos con \(x = -10\), que está en \(S\): el primer miembro da \(2(-10)+4 = -16\) y el segundo \(-10-5 = -15\). Como \(-16 < -15\), se cumple. Con \(x = 0\), que está afuera: \(4 < -5\) es falso. El conjunto está bien.
Resolver \(-3x + 4 < 2x - 1\).
Sumamos \(-2x\) a ambos miembros.
$$ \begin{aligned} -3x + 4 - 2x \ &< \ 2x - 1 - 2x \\[2pt] -5x + 4 \ &< \ -1 \end{aligned} $$Sumamos \(-4\) a ambos miembros.
$$ \begin{aligned} -5x + 4 - 4 \ &< \ -1 - 4 \\[2pt] -5x \ &< \ -5 \end{aligned} $$El coeficiente de \(x\) es \(-5 < 0\). Al dividir por un número negativo, el \(<\) se transforma en \(>\).
$$ \begin{aligned} \dfrac{-5x}{-5} \ &> \ \dfrac{-5}{-5} \\[4pt] x \ &> \ 1 \end{aligned} $$Verificación. Con \(x = 2\): \(-3(2)+4 = -2\) y \(2(2)-1 = 3\). Como \(-2 < 3\), se cumple. Si te hubieras olvidado de invertir, habrías escrito \(x < 1\) y con \(x = 0\) daría \(4 < -1\), que es falso. Ahí se detecta el error.
Error: llegar a \(-5x < -5\) y responder \(x < 1\).
Correcto: \(x > 1\). Dividiste por \(-5\), que es negativo, así que el símbolo se da vuelta. El momento crítico es siempre el mismo: cuando la \(x\) queda con coeficiente negativo. Antes de dividir, mirá el signo.
Elvira
Sumar y restar nunca invierte nada, tranquila. El único momento peligroso es multiplicar o dividir. Y ahí sólo importa el signo del número por el que operás: positivo deja todo igual, negativo da vuelta el símbolo.
A veces la condición viene encadenada: \(a \leq \text{algo} < b\). Se puede resolver de dos formas, y las dos son válidas.
Partirla en dos inecuaciones y después intersecar, o trabajar los tres miembros a la vez.
Resolver \(-7 \leq -x - 5 < 2\).
Lo que le hacés a uno se lo hacés a los tres. Sumar no altera los símbolos.
$$ \begin{aligned} -7 + 5 \ &\leq \ -x - 5 + 5 \ < \ 2 + 5 \\[2pt] -2 \ &\leq \ -x \ < \ 7 \end{aligned} $$Hay \(-x\) y queremos \(x\). Al multiplicar por \(-1\) (negativo), ambas desigualdades se dan vuelta.
$$ \begin{aligned} (-1)\cdot(-2) \ &\geq \ (-1)\cdot(-x) \ > \ (-1)\cdot 7 \\[2pt] 2 \ &\geq \ x \ > \ -7 \end{aligned} $$Se lee más cómodo con el menor a la izquierda. Es la misma condición escrita al revés.
$$ -7 < x \leq 2 $$El \(-7\) no entra (era estricto) y el \(2\) sí entra (llevaba el igual).
$$ S = \boxed{(-7,\,2\,]} $$S = (−7, 2]
Verificación. Con \(x = 2\): \(-2-5 = -7\) y efectivamente \(-7 \leq -7 < 2\). Con \(x = -7\): \(7-5 = 2\), y \(2 < 2\) es falso, así que el \(-7\) queda afuera. Coincide con los corchetes elegidos.
De vez en cuando desaparece la \(x\) y queda una afirmación sobre números puros. No es un error: es la respuesta.
Caso (a). Resolver \(4x^3 < \tfrac{1}{2}\left(8x^3 + 7\right)\).
Los términos cúbicos se cancelan entre sí.
$$ \begin{aligned} 4x^3 - 4x^3 \ &< \ 4x^3 - 4x^3 + \dfrac{7}{2} \\[4pt] 0 \ &< \ \dfrac{7}{2} \end{aligned} $$Quedó una afirmación verdadera que no depende de \(x\). Entonces cualquier real la cumple.
$$ S = \boxed{\mathbb{R}} $$Caso (b). Resolver \(2\cdot(x - 4) > 2x + 12\).
\(-8 > 12\) es falso siempre. Ningún valor de \(x\) puede arreglarlo, porque la \(x\) ya no está.
$$ S = \boxed{\varnothing} $$Interpretación. Cuando la incógnita se cancela, la inecuación deja de depender de \(x\): o es verdadera para todos (\(S = \mathbb{R}\)) o es falsa para todos (\(S = \varnothing\)). No hay término medio.
Con una inecuación cuadrática o racional no alcanza con despejar. Probá con \(x^2 + x > 2\): no hay forma de "pasar el cuadrado" al otro lado. Hace falta otra idea.
La idea es esta: un producto o un cociente tiene signo previsible. Si sabés el signo de cada factor, sabés el signo del resultado. Eso es todo el método.
Para poder hablar de "signo" necesitamos comparar contra \(0\), porque el cero es la frontera entre positivo y negativo. Por eso la primera maniobra es siempre la misma: pasar todo a un miembro y dejar el otro en \(0\).
Todo a un lado del símbolo, el otro lado queda en \(0\). Si hay fracciones, se arma un único cociente con denominador común.
Buscar las raíces y escribir la expresión como producto o cociente de factores lineales.
Plantear los casos en los que el signo del resultado es el que pide la inecuación, resolver cada caso y unir.
Error: tomar \(x^2 + x > 2\), factorizar directo como \(x(x+1) > 2\) y aplicar la regla de los signos.
Correcto: primero \(x^2 + x - 2 > 0\), después factorizar \((x+2)(x-1) > 0\) y recién ahí aplicar la regla. La regla estudia el signo respecto del cero; contra un \(2\) no dice nada.
Antes de los casos, dos símbolos de la lógica que van a aparecer en cada renglón:
| Símbolo | Se lee | Significa | En conjuntos |
|---|---|---|---|
| \(\land\) | "y" | Las dos condiciones se cumplen al mismo tiempo | Intersección \(\cap\) |
| \(\lor\) | "o" | Alcanza con que se cumpla al menos una | Unión \(\cup\) |
Esto no es decoración: define cómo se combinan los resultados. Dentro de cada caso las condiciones van con \(\land\), así que intersecás. Entre casos van con \(\lor\), así que unís. Por eso el conjunto final casi siempre tiene un \(\cup\).
Gema
Mnemotecnia: la \(\land\) tiene forma de techo, te encierra en lo que comparten las dos condiciones. La \(\lor\) es una copa abierta, te junta todo lo que caiga adentro de cualquiera de las dos.
Toda la regla sale de esta tabla, que ya conocés desde la primaria. El signo de un producto (y de un cociente) depende sólo de los signos de las partes:
| Signo de \(A\) | Signo de \(B\) | Signo de \(A \cdot B\) y de \(\dfrac{A}{B}\) |
|---|---|---|
| + | + | + |
| − | − | + |
| + | − | − |
| − | + | − |
Leela así: el resultado es positivo cuando los signos coinciden y negativo cuando difieren. Dos filas dan \(+\) y dos dan \(-\); por eso cada inecuación se parte en exactamente dos casos.
Con \(\geq\) y \(\leq\) es exactamente lo mismo, agregando el igual en los dos factores:
Para el cociente la lógica de signos es idéntica. Cambia una sola cosa, y es innegociable: el denominador nunca puede ser cero.
Mirá las dos fórmulas con \(\geq\) y \(\leq\): el numerador lleva el igual, pero el denominador queda estricto (\(>\) o \(<\), nunca \(\geq\) ni \(\leq\)). Ese detalle es el que decide si un extremo va con corchete o con paréntesis.
Antes de operar, anotá aparte los valores que anulan cada denominador. Esos valores quedan excluidos del conjunto solución sí o sí, aunque después "aparezcan" en las cuentas.
Error: escribir \(\dfrac{2x+6}{x-1} \geq 0 \iff (2x+6 \geq 0 \ \land \ x - 1 \geq 0) \ \lor \ \dots\)
Correcto: \((2x+6 \geq 0 \ \land \ x - 1 > 0) \ \lor \ (2x+6 \leq 0 \ \land \ x - 1 < 0)\). Si permitieras \(x - 1 \geq 0\), estarías aceptando \(x = 1\), que hace \(\tfrac{8}{0}\): no existe.
Error: tener \(\dfrac{A}{B} > 1\) y "pasar multiplicando" el \(B\) para obtener \(A > B\).
Correcto: \(\dfrac{A}{B} - 1 > 0 \ \Rightarrow \ \dfrac{A - B}{B} > 0\), y recién ahí la regla de los signos. Multiplicar por \(B\) sin conocer su signo es exactamente lo que no se puede hacer: si \(B\) es negativo el símbolo debería invertirse, y no sabés cuándo lo es.
Resolver \((x - 5)(x + 2) > 0\).
La expresión ya está factorizada y comparada contra cero: podemos aplicar la regla directamente. Queremos que el producto sea positivo, así que los dos factores deben tener el mismo signo.
Producto positivo significa "los dos positivos" o "los dos negativos".
$$ (x - 5 > 0 \ \land \ x + 2 > 0) \ \lor \ (x - 5 < 0 \ \land \ x + 2 < 0) $$Despejamos cada condición por separado.
$$ \begin{aligned} x - 5 \ &> \ 0 \ \ \land \ \ x + 2 \ > \ 0 \\[2pt] x \ &> \ 5 \ \ \land \ \ x \ > \ -2 \end{aligned} $$Como van con \(\land\), hay que intersecar. Ser mayor que \(5\) ya implica ser mayor que \(-2\), así que manda la condición más exigente.
$$ S_1 = (5,\,+\infty) \cap (-2,\,+\infty) = (5,\,+\infty) $$Otra vez intersecamos: ser menor que \(-2\) ya implica ser menor que \(5\).
$$ S_2 = (-\infty,\,5) \cap (-\infty,\,-2) = (-\infty,\,-2) $$Los dos casos van con \(\lor\), o sea unión.
$$ S_F = S_1 \cup S_2 = \boxed{(-\infty,\,-2) \cup (5,\,+\infty)} $$Cada caso da un tramo; el final es la unión
Verificación. Tomamos un valor de cada zona. Con \(x = 6\): \((1)(8) = 8 > 0\), entra. Con \(x = 0\): \((-5)(2) = -10\), no entra. Con \(x = -3\): \((-8)(-1) = 8 > 0\), entra. Los tres coinciden con el conjunto.
Resolver \(x^2 + x - 2 \geq 0\).
El segundo miembro es \(0\), así que no hay que mover nada. Pasamos a factorizar.
Con \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -2\) usamos la resolvente.
Con coeficiente principal \(a = 1\), la factorización es \(a(x - x_1)(x - x_2)\).
$$ x^2 + x - 2 = (x - 1)\big(x - (-2)\big) = (x - 1)(x + 2) $$ $$ (x - 1)(x + 2) \ \geq \ 0 $$Con \(\geq\) el igual va en los dos factores, porque si alguno vale \(0\) el producto da \(0\), y \(0 \geq 0\) es verdadero.
$$ \begin{aligned} x - 1 \ &\geq \ 0 \ \ \land \ \ x + 2 \ \geq \ 0 \\[2pt] x \ &\geq \ 1 \ \ \land \ \ x \ \geq \ -2 \end{aligned} $$ $$ S_1 = [\,1,\,+\infty) $$Las raíces entran: puntos llenos
El mismo resultado se puede leer con una tabla de signos. Las raíces \(-2\) y \(1\) parten la recta en tres zonas, y en cada zona anotamos el signo de cada factor:
| Factor | \((-\infty,\,-2)\) | \((-2,\,1)\) | \((1,\,+\infty)\) |
|---|---|---|---|
| \(x - 1\) | − | − | + |
| \(x + 2\) | − | + | + |
| \((x-1)(x+2)\) | + | − | + |
Interpretación. Como pedimos \(\geq 0\), nos quedamos con las columnas donde el producto da \(+\), agregando las raíces porque el igual las admite. Sale lo mismo que con los casos: los dos métodos son la misma cuenta contada distinto.
Elvira
Con \(\geq\) o \(\leq\) en un producto, las dos raíces entran: corchetes en las dos. En un cociente, la raíz del numerador entra pero la del denominador jamás. Ese es el único cambio real entre los dos casos.
Resolver \(\dfrac{2x + 6}{x - 1} \geq 0\).
El denominador no puede anularse. La anotamos antes de operar.
$$ x - 1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 1 $$El numerador admite el igual; el denominador va estricto para no anularse.
$$ \begin{aligned} 2x + 6 \ &\geq \ 0 \ \ \land \ \ x - 1 \ > \ 0 \\[2pt] 2x \ &\geq \ -6 \ \ \land \ \ x \ > \ 1 \\[2pt] x \ &\geq \ -3 \ \ \land \ \ x \ > \ 1 \end{aligned} $$ $$ S_1 = [-3,\,+\infty) \cap (1,\,+\infty) = (1,\,+\infty) $$El \(1\) no aparece en ningún tramo, así que la restricción ya está respetada.
$$ S_F = \boxed{(-\infty,\,-3\,] \cup (1,\,+\infty)} $$El −3 entra (corchete); el 1 nunca (paréntesis)
Verificación. Con \(x = 0\), que está entre los dos tramos: \(\tfrac{6}{-1} = -6\), que no es \(\geq 0\). Bien excluido. Con \(x = -3\): \(\tfrac{0}{-4} = 0 \geq 0\), se cumple, por eso el corchete.
El \(-1\) anula el numerador. Reemplazamos:
$$ \dfrac{-1 + 1}{-1 - 2} = \dfrac{0}{-3} = 0 $$Y \(0 \geq 0\) es verdadero, así que el \(-1\) pertenece: va con corchete.
El \(2\) anula el denominador: daría \(\tfrac{3}{0}\), que no existe. Va con paréntesis, sin excepción.
Resolviendo entera queda \(S = (-\infty,\,-1\,] \cup (2,\,+\infty)\).
Resolver \(-2x^2 + 8x - 6 > 0\).
Cuando el coeficiente que acompaña a \(x^2\) no es \(1\), conviene sacarlo como factor común antes de factorizar. Y si ese coeficiente es negativo, al dividir por él se invierte el símbolo.
Dividimos cada término por \(-2\) dentro del paréntesis: \(-2x^2 : (-2) = x^2\), \(8x : (-2) = -4x\), \(-6 : (-2) = 3\).
$$ -2\left(x^2 - 4x + 3\right) \ > \ 0 $$Es un número negativo: el \(>\) se transforma en \(<\). Del otro lado, \(0 : (-2) = 0\).
$$ \begin{aligned} \dfrac{-2\left(x^2 - 4x + 3\right)}{-2} \ &< \ \dfrac{0}{-2} \\[4pt] x^2 - 4x + 3 \ &< \ 0 \end{aligned} $$Producto negativo significa signos distintos.
$$ \begin{aligned} x - 1 \ &> \ 0 \ \ \land \ \ x - 3 \ < \ 0 \\[2pt] x \ &> \ 1 \ \ \land \ \ x \ < \ 3 \end{aligned} $$ $$ S_1 = (1,\,+\infty) \cap (-\infty,\,3) = (1,\,3) $$No existe ningún número que sea a la vez menor que \(1\) y mayor que \(3\).
$$ S_2 = (-\infty,\,1) \cap (3,\,+\infty) = \varnothing $$S = (1, 3)
Interpretación. Que un caso dé \(\varnothing\) es completamente normal y no invalida nada: simplemente esa combinación de signos es imposible. La unión con el vacío no agrega nada.
Resolver \(\dfrac{5x - 1}{x + 2} \leq 2\).
Acá el segundo miembro no es cero, así que la regla de los signos todavía no se puede usar. Primero hay que armar un único cociente contra \(0\).
Sumamos \(-2\) a ambos miembros. Es una suma: el símbolo no cambia.
$$ \dfrac{5x - 1}{x + 2} - 2 \ \leq \ 0 $$Escribimos el \(2\) como \(\dfrac{2(x+2)}{x+2}\) para poder restar las fracciones.
$$ \dfrac{5x - 1 - 2(x + 2)}{x + 2} \ \leq \ 0 $$S = (−2, 5/3]
Verificación. Con \(x = 0\): \(\tfrac{-1}{2} = -0{,}5 \leq 2\), se cumple, y el \(0\) está en el conjunto. Con \(x = 3\): \(\tfrac{14}{5} = 2{,}8\), que no es \(\leq 2\), y efectivamente el \(3\) quedó afuera. Con \(x = -3\): \(\tfrac{-16}{-1} = 16\), tampoco cumple, y también está excluido.
Los tres ejemplos que siguen son del nivel que aparece en finales. No usan nada nuevo: usan lo mismo de antes, pero encadenado y con una trampa adentro. Vamos despacio.
\(|A| \leq k \iff -k \leq A \leq k\) (una franja alrededor del cero)
\(|A| \geq k \iff (A \geq k) \ \lor \ (A \leq -k)\) (los dos extremos, hacia afuera)
La lectura es de distancias: \(|x - 2|\) es la distancia entre \(x\) y \(2\). Pedir \(|x-2| \leq 3\) es pedir "los puntos que están a lo sumo a \(3\) de distancia del \(2\)", o sea el tramo de \(-1\) a \(5\).
Resolver \(\dfrac{(x^2 - 9)\,|x - 2|}{x - 3} \ \leq \ 3(x + 3)\).
Antes de tocar nada, el denominador.
$$ x - 3 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 3 $$\(x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)\).
$$ \dfrac{(x - 3)(x + 3)\,|x - 2|}{x - 3} \ \leq \ 3(x + 3) $$La cancelación es legítima porque ya excluimos \(x = 3\): ahí \(x - 3 \neq 0\), así que \(\tfrac{x-3}{x-3} = 1\).
$$ (x + 3)\,|x - 2| \ \leq \ 3(x + 3) $$Para despejar \(|x-2|\) habría que dividir por \((x+3)\), pero no sabemos su signo. Abrimos tres casos: positivo, negativo y cero.
Dividimos por un positivo: el símbolo se mantiene.
$$ \begin{aligned} \dfrac{(x+3)\,|x-2|}{x+3} \ &\leq \ \dfrac{3(x+3)}{x+3} \\[4pt] |x - 2| \ &\leq \ 3 \end{aligned} $$Aplicamos la propiedad del módulo con \(k = 3\):
$$ \begin{aligned} -3 \ &\leq \ x - 2 \ \leq \ 3 \\[2pt] -3 + 2 \ &\leq \ x \ \leq \ 3 + 2 \\[2pt] -1 \ &\leq \ x \ \leq \ 5 \end{aligned} $$Ahora intersecamos con la condición del caso (\(x > -3\)) y con la C.E. (\(x \neq 3\)):
$$ S_1 = [-1,\,5\,] \cap (-3,\,+\infty) - \{3\} = [-1,\,3) \cup (3,\,5\,] $$Dividimos por un negativo: el \(\leq\) pasa a \(\geq\).
$$ |x - 2| \ \geq \ 3 $$Ahora la propiedad "hacia afuera" abre dos ramas unidas por \(\lor\):
$$ \begin{aligned} x - 2 \ &\geq \ 3 \ \ \lor \ \ x - 2 \ \leq \ -3 \\[2pt] x \ &\geq \ 5 \ \ \lor \ \ x \ \leq \ -1 \end{aligned} $$Intersecamos con la condición del caso, \(x < -3\). Todo lo que es menor que \(-3\) ya es menor que \(-1\), así que la segunda rama se lo lleva entero; la primera no aporta nada.
$$ S_2 = \big( [5,\,+\infty) \cup (-\infty,\,-1\,] \big) \cap (-\infty,\,-3) = (-\infty,\,-3) $$Este valor no entró en ningún caso anterior, así que hay que probarlo a mano en la inecuación original.
Es verdadero, así que \(x = -3\) sí es solución.
$$ S_3 = \{-3\} $$\((-\infty,-3)\) junto con el punto \(-3\) se compacta en \((-\infty,-3\,]\).
$$ S_F = (-\infty,\,-3) \cup \{-3\} \cup [-1,\,3) \cup (3,\,5\,] $$ $$ S_F = \boxed{(-\infty,\,-3\,] \cup \big( [-1,\,5\,] - \{3\} \big)} $$El 3 queda como hueco: la C.E. lo prohíbe
Verificación. Con \(x = 0\): el primer miembro es \(\tfrac{(-9)(2)}{-3} = 6\) y el segundo \(3\cdot 3 = 9\). Como \(6 \leq 9\), se cumple, y el \(0\) está en \([-1,5]\). Con \(x = 6\): \(\tfrac{(27)(4)}{3} = 36\) contra \(3\cdot 9 = 27\); \(36 \leq 27\) es falso, y efectivamente el \(6\) quedó afuera.
Error: cancelar el \((x-3)\) del ejemplo anterior sin haber anotado la condición de existencia, y terminar incluyendo \(x = 3\) en la respuesta.
Correcto: la expresión simplificada \((x+3)|x-2| \leq 3(x+3)\) sí acepta \(x = 3\), pero la original no está definida ahí. La C.E. se declara antes de simplificar y se aplica al final, siempre.
Gema
Cada vez que quieras dividir por una expresión con \(x\) adentro, frená. No sabés su signo, así que no sabés si el símbolo se mantiene o se invierte. La salida es siempre la misma: abrir casos por el signo, y probar el cero aparte.
Un cuadrado nunca es negativo. Esa observación elemental resuelve inecuaciones que de otro modo parecen imposibles.
Resolver \(x \ \geq \ \dfrac{4}{4 - x}\).
Sumamos \(-\dfrac{4}{4-x}\) a los dos lados. No multiplicamos por \(4-x\): no conocemos su signo.
$$ x - \dfrac{4}{4 - x} \ \geq \ 0 $$Escribimos \(x\) como \(\dfrac{x(4-x)}{4-x}\).
$$ \dfrac{(4 - x)\,x - 4}{4 - x} \ \geq \ 0 $$Con \(a = -1\), \(b = 4\), \(c = -4\) el discriminante es \(16 - 4(-1)(-4) = 16 - 16 = 0\): hay una raíz doble.
Sacamos el signo de adelante del cuadrado. Al multiplicar por un negativo, el \(\geq\) pasa a \(\leq\).
$$ \dfrac{(x - 2)^2}{4 - x} \ \leq \ 0 $$Acá entra la observación clave: \((x-2)^2\) nunca es negativo, así que \((x-2)^2 \leq 0\) sólo puede pasar si vale exactamente \(0\).
$$ \begin{aligned} (x - 2)^2 \ &\leq \ 0 \ \ \land \ \ 4 - x \ > \ 0 \\[2pt] x - 2 \ &= \ 0 \ \ \land \ \ 4 \ > \ x \\[2pt] x \ &= \ 2 \ \ \land \ \ x \ < \ 4 \end{aligned} $$El \(2\) cumple \(2 < 4\), así que sobrevive.
$$ S_1 = \{2\} $$Ahora \((x-2)^2 \geq 0\) es verdadero para todo real: no restringe nada.
$$ \begin{aligned} (x - 2)^2 \ &\geq \ 0 \ \ \land \ \ 4 - x \ < \ 0 \\[2pt] x \in \mathbb{R} \ \ &\land \ \ 4 \ < \ x \end{aligned} $$ $$ S_2 = \mathbb{R} \cap (4,\,+\infty) = (4,\,+\infty) $$Un punto suelto más una semirrecta
Verificación. Con \(x = 2\): \(\tfrac{4}{4-2} = 2\) y \(2 \geq 2\) se cumple, justo en el borde. Con \(x = 3\): \(\tfrac{4}{1} = 4\) y \(3 \geq 4\) es falso, por eso el \(3\) no está. Con \(x = 5\): \(\tfrac{4}{-1} = -4\) y \(5 \geq -4\) se cumple. Todo consistente.
Interpretación. Que la solución tenga un punto aislado no es un error de cuenta: es lo que pasa cuando la igualdad se alcanza en un único valor, el de la raíz doble.
Otro tipo de ejercicio muy frecuente: no te piden resolver una inecuación, te piden para qué valores de \(x\) la expresión existe en \(\mathbb{R}\). Ahí las inecuaciones aparecen como herramienta.
| Si aparece | La condición es | Por qué |
|---|---|---|
| \(\dfrac{1}{A}\) | \(A \neq 0\) | No se puede dividir por cero |
| \(\sqrt[n]{A}\) con \(n\) par | \(A \geq 0\) | No hay raíz par de negativos en \(\mathbb{R}\) |
| \(\sqrt[n]{A}\) con \(n\) impar | \(A \in \mathbb{R}\) | La raíz impar acepta negativos |
| \(\log(A)\) | \(A > 0\) | El logaritmo sólo toma positivos |
Hallar todos los \(x \in \mathbb{R}\) tales que la expresión \(\dfrac{\log(x + 3)}{\sqrt{-x + 1}}\) esté definida y además se cumpla \(x^4 + 3x^2 - 4 = 0\).
Hay que cumplirlas todas a la vez: el argumento del logaritmo, el radicando de la raíz par, el denominador no nulo y la ecuación.
$$ x + 3 > 0 \ \ \land \ \ -x + 1 \geq 0 \ \ \land \ \ \sqrt{-x+1} \neq 0 \ \ \land \ \ x^4 + 3x^2 - 4 = 0 $$Despejamos multiplicando por \(-1\), que invierte el símbolo.
$$ \begin{aligned} -x + 1 \ &\geq \ 0 \\[2pt] -x \ &\geq \ -1 \\[2pt] x \ &\leq \ 1 \end{aligned} $$La raíz está abajo, así que además no puede valer \(0\).
$$ \sqrt{-x + 1} \neq 0 \ \Rightarrow \ -x + 1 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 1 $$Combinando con el paso anterior (\(x \leq 1\) y \(x \neq 1\)) queda simplemente \(x < 1\).
Cambio de variable: llamamos \(t = x^2\), y entonces \(x^4 = \left(x^2\right)^2 = t^2\).
Las raíces reales de la ecuación son \(x = 1\) y \(x = -1\).
El \(1\) queda afuera porque anularía el denominador; el \(-1\) sí está dentro de \((-3,\,1)\).
$$ S = \{1,\,-1\} \cap (-3,\,1) = \boxed{\{-1\}} $$Sólo el −1 cae dentro del dominio permitido
Verificación. Con \(x = -1\): el argumento del logaritmo es \(-1+3 = 2 > 0\), el radicando es \(1 + 1 = 2 > 0\), y la ecuación da \(1 + 3 - 4 = 0\). Las cuatro condiciones se cumplen. Con \(x = 1\): el radicando sería \(0\) y el denominador se anularía, así que queda descartado aunque resuelva la ecuación.
| Situación | Qué hacer |
|---|---|
| Inecuación lineal | Despejar como una ecuación, invirtiendo el símbolo si dividís por negativo |
| Inecuación doble \(a \leq f(x) < b\) | Operar los tres miembros a la vez, o partir en dos e intersecar |
| Cuadrática o producto | Igualar a cero, factorizar y abrir los dos casos de signos |
| Cociente | Igual que el producto, con el denominador siempre estricto y la C.E. declarada |
| Comparada contra un número | Pasar todo a un miembro y armar un único cociente antes de aplicar la regla |
| Con módulo | \(|A| \leq k\) da una franja; \(|A| \geq k\) da dos ramas unidas |
| Con cuadrado perfecto | Usar que \(A^2 \geq 0\) siempre y que \(A^2 \leq 0\) sólo si \(A = 0\) |
| Dominio de una expresión | Una condición por cada denominador, raíz par y logaritmo, todas con \(\land\) |
Las dos fórmulas que hay que saber de memoria
$$ A \cdot B \geq 0 \iff (A \geq 0 \ \land \ B \geq 0) \ \lor \ (A \leq 0 \ \land \ B \leq 0) $$ $$ \dfrac{A}{B} \geq 0 \iff (A \geq 0 \ \land \ B > 0) \ \lor \ (A \leq 0 \ \land \ B < 0) $$Contra cero siempre, antes de factorizar.
Dividir por negativo invierte el símbolo.
Denominador: nunca con igual, nunca con corchete.
Dentro del caso \(\land\) (intersección); entre casos \(\lor\) (unión).
Gema y Elvira
Si te trabás, volvé al chequeo de siempre: elegí un número de cada tramo y reemplazalo en la inecuación original. Si el tramo que marcaste como solución falla el test, el error está en los signos o en un corchete de más.
Sumamos \(-3\) a los dos miembros; el símbolo no cambia.
$$ \begin{aligned} -4x + 3 - 3 \ &\geq \ 11 - 3 \\[2pt] -4x \ &\geq \ 8 \end{aligned} $$Es negativo, así que el \(\geq\) se convierte en \(\leq\).
$$ \begin{aligned} \dfrac{-4x}{-4} \ &\leq \ \dfrac{8}{-4} \\[4pt] x \ &\leq \ -2 \end{aligned} $$Resultado: $$ S = \boxed{(-\infty,\,-2\,]} $$
Verificación. Con \(x = -2\): \(-4(-2)+3 = 11 \geq 11\), se cumple (por eso el corchete). Con \(x = 0\): \(3 \geq 11\) es falso.
Acá la incógnita aparece en los tres miembros, así que conviene partir en dos inecuaciones y después intersecar.
Sumamos \(-2x\) y luego \(+1\) a ambos miembros.
$$ \begin{aligned} 4x - 1 - 2x \ &\leq \ 2x + 1 - 2x \\[2pt] 2x - 1 \ &\leq \ 1 \\[2pt] 2x \ &\leq \ 2 \\[2pt] x \ &\leq \ 1 \end{aligned} $$Dividimos por \(2 > 0\): el símbolo queda igual.
Sumamos \(-3x\) y luego \(-1\).
$$ \begin{aligned} 2x + 1 - 3x \ &< \ 3x + 7 - 3x \\[2pt] -x + 1 \ &< \ 7 \\[2pt] -x \ &< \ 6 \end{aligned} $$Multiplicamos por \(-1\), que invierte el símbolo:
$$ x \ > \ -6 $$S = (−6, 1]
Verificación. Con \(x = 1\): \(3 \leq 3 < 10\), verdadero. Con \(x = -6\): \(-25 \leq -11 < -11\) es falso, así que el \(-6\) queda afuera.
Resultado: $$ S_F = \boxed{(-\infty,\,-8\,] \cup [\,6,\,+\infty)} $$
Verificación. Con \(x = 0\): \(-48 \geq 0\) es falso, y el \(0\) está entre los dos tramos. Con \(x = 6\): \(36 + 12 - 48 = 0 \geq 0\), se cumple.
Es positivo: el símbolo se mantiene. Y \(0 : 3 = 0\).
$$ (x - 2)(x - 1) \ \leq \ 0 $$Resultado: $$ S_F = \varnothing \cup [\,1,\,2\,] = \boxed{[\,1,\,2\,]} $$
Verificación. Con \(x = 1{,}5\): \(3(2{,}25) - 13{,}5 + 6 = 6{,}75 - 13{,}5 + 6 = -0{,}75 \leq 0\), se cumple. Con \(x = 3\): \(27 - 27 + 6 = 6\), no cumple.
Factorizamos \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\) y pedimos que ningún denominador se anule.
$$ x \neq 1 \ \ \land \ \ x \neq -1 $$A la primera fracción le falta el factor \((x+1)\); la amplificamos.
$$ \dfrac{2(x + 1) - 3x}{(x - 1)(x + 1)} \ \leq \ 0 $$Del numerador: \(-x + 2 \leq 0 \Rightarrow -x \leq -2 \Rightarrow x \geq 2\).
Del denominador, subcaso de producto positivo:
Del numerador: \(-x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \leq 2\).
Del denominador, producto negativo:
Resultado: $$ S_F = \boxed{(-1,\,1) \cup [\,2,\,+\infty)} $$
Verificación. Con \(x = 0\): el primer miembro es \(\tfrac{2}{-1} = -2\) y el segundo \(\tfrac{0}{-1} = 0\); como \(-2 \leq 0\), se cumple. Con \(x = 2\): \(\tfrac{2}{1} = 2\) y \(\tfrac{6}{3} = 2\); vale la igualdad, por eso el corchete.
No hay que resolver ninguna igualdad: hay que listar las condiciones que hacen posible la cuenta en \(\mathbb{R}\).
La raíz de arriba es de índice par: el radicando no puede ser negativo. La de abajo es de índice impar, así que acepta cualquier real, pero está en el denominador y por lo tanto no puede valer cero.
$$ -\tfrac{1}{2}x + 6 \geq 0 \ \ \land \ \ 2x - 3 \neq 0 $$Sumamos \(-6\) y después multiplicamos por \(-2\), que es negativo: el símbolo se invierte.
$$ \begin{aligned} -\tfrac{1}{2}x + 6 \ &\geq \ 0 \\[2pt] -\tfrac{1}{2}x \ &\geq \ -6 \\[2pt] (-2)\cdot\left(-\tfrac{1}{2}x\right) \ &\leq \ (-2)\cdot(-6) \\[2pt] x \ &\leq \ 12 \end{aligned} $$Buscamos qué valor está prohibido resolviendo con el igual, y después lo sacamos.
$$ 2x - 3 = 0 \ \Rightarrow \ x = \tfrac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad x \neq \tfrac{3}{2} $$Todos los menores o iguales que \(12\), menos el \(\tfrac{3}{2}\), que queda como hueco.
$$ S = (-\infty,\,12\,] - \left\{\tfrac{3}{2}\right\} = \boxed{\left(-\infty,\,\tfrac{3}{2}\right) \cup \left(\tfrac{3}{2},\,12\,\right]} $$Verificación. Con \(x = 12\): arriba queda \(\sqrt{0} = 0\) y abajo \(\sqrt[3]{21} \neq 0\), así que el resultado existe y vale \(0\). Con \(x = 13\): el radicando de arriba sería \(-\tfrac{1}{2}\), negativo, y la raíz par no existe en \(\mathbb{R}\).
Un módulo nunca es negativo. Para que algo \(\geq 0\) sea menor que \(x + 3\), hace falta que \(x + 3\) sea estrictamente positivo.
$$ x + 3 \ > \ 0 \quad \Rightarrow \quad x \ > \ -3 $$Con \(k = x + 3 > 0\), la desigualdad \(|A| < k\) equivale a la franja \(-k < A < k\).
$$ -(x + 3) \ < \ 2x - 1 \ < \ x + 3 $$Distribuimos el menos, sumamos \(x\) y después \(+1\) a ambos miembros.
$$ \begin{aligned} -x - 3 \ &< \ 2x - 1 \\[2pt] -3 + 1 \ &< \ 2x + x \\[2pt] -2 \ &< \ 3x \\[2pt] -\tfrac{2}{3} \ &< \ x \end{aligned} $$Sumamos \(-x\) y luego \(+1\).
$$ \begin{aligned} 2x - 1 \ &< \ x + 3 \\[2pt] 2x - x \ &< \ 3 + 1 \\[2pt] x \ &< \ 4 \end{aligned} $$La condición previa \(x > -3\) queda absorbida, porque \(-\tfrac{2}{3}\) ya es mayor que \(-3\).
$$ \left(-\tfrac{2}{3},\,+\infty\right) \cap (-\infty,\,4) \cap (-3,\,+\infty) = \left(-\tfrac{2}{3},\,4\right) $$Resultado: $$ S = \boxed{\left(-\dfrac{2}{3},\,4\right)} $$
Verificación. Con \(x = 0\): \(|-1| = 1\) y \(0 + 3 = 3\); \(1 < 3\) se cumple. Con \(x = 4\): \(|7| = 7\) y \(4 + 3 = 7\); \(7 < 7\) es falso, por eso el paréntesis. Con \(x = -1\): \(|-3| = 3\) y \(-1+3 = 2\); \(3 < 2\) es falso, y efectivamente el \(-1\) quedó afuera.
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