Este es el segundo de dos apuntes sobre derivadas. En el anterior construimos la derivada desde el límite: secante, tangente, definición formal, función derivada y la tabla de derivadas elementales. Ahora vamos a las cuatro reglas que te permiten derivar cualquier combinación de funciones sin volver a plantear un límite cada vez.
Al terminar vas a poder:
Aplicar la regla de la potencia, incluso con exponentes fraccionarios y negativos.
Derivar productos y cocientes de funciones con las reglas correspondientes, sin errores de signo.
Reconocer funciones compuestas y aplicar la regla de la cadena, incluso con varias capas.
Combinar las cuatro reglas en un mismo ejercicio, identificando qué regla usar primero.
Antes de las cuatro reglas grandes, hay cuatro propiedades chiquitas que ya se pueden demostrar por definición (lo viste en el apunte anterior) y que vas a usar todo el tiempo, casi sin pensarlas.
La derivada se reparte término a término. Cada sumando se deriva por separado.
La gráfica de una constante es una recta horizontal: pendiente cero en todos sus puntos.
Derivar \( f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 3 \).
Usamos la propiedad de suma/resta para separar en tres derivadas independientes. El término \(4x^3\) usa la propiedad 3 (constante por función), igual que \(-5x^2\). El \(+3\) es una constante, así que su derivada es \(0\) (propiedad 2):
$$ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(4x^3\right) - \frac{d}{dx}\left(5x^2\right) + \frac{d}{dx}(3) $$Verificación. Fijate que ningún término de \(f'(x)\) tiene la constante \(+3\) original: como esperábamos, una constante aislada se "evapora" al derivar.
Gema
Con estas cuatro propiedades ya podés derivar cualquier polinomio sin pasar por la definición. Apenas combinés esto con la regla de la potencia que sigue, vas a poder derivar casi cualquier cosa que tenga sumas de potencias de \(x\).
Bajás el exponente como multiplicador adelante, y al exponente original le restás \(1\). Funciona para cualquier número real \(n\): entero, fraccionario o negativo.
Derivar \( f(x) = x^7 \).
Bajamos el exponente \(7\) como multiplicador, y restamos \(1\) al exponente: \(7-1=6\).
$$ f'(x) = 7 \cdot x^{7-1} = \boxed{7x^6} $$Derivar \( f(x) = \sqrt[3]{x^2} \).
Recordá la conversión: \(\sqrt[m]{x^n} = x^{n/m}\). Acá \(n=2\) y \(m=3\):
$$ f(x) = \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3} $$Bajamos \(\frac{2}{3}\) como multiplicador, y restamos \(1\) al exponente:
$$ f'(x) = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3} \cdot x^{-1/3} $$Un exponente negativo significa "al denominador", y \(x^{1/3} = \sqrt[3]{x}\):
$$ f'(x) = \boxed{\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}} $$Derivar \( f(x) = \dfrac{1}{x^2} \).
Bajamos \(-2\) como multiplicador y restamos \(1\) al exponente: \(-2-1=-3\):
$$ f'(x) = -2 \cdot x^{-2-1} = -2x^{-3} = \boxed{-\dfrac{2}{x^3}} $$Derivar \( f(x) = 6x^5 - \dfrac{3}{x^4} + \sqrt{x} \). Este ejercicio mete los tres casos anteriores (potencia entera, negativa y fraccionaria) en una sola función.
El segundo término es \(\frac{3}{x^4} = 3x^{-4}\). El tercero es \(\sqrt{x}=x^{1/2}\):
$$ f(x) = 6x^5 - 3x^{-4} + x^{1/2} $$Primer término: \(6\cdot 5\, x^{5-1} = 30x^4\). Segundo término: \(-3\cdot(-4)\,x^{-4-1} = 12x^{-5}\) (atención al producto de dos negativos, que da positivo). Tercer término: \(\frac{1}{2}x^{1/2-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2}\).
$$ f'(x) = 30x^4 + 12x^{-5} + \frac{1}{2}x^{-1/2} $$Verificación. Tres términos en la función original, tres términos en la derivada: ningún término se "perdió" en el camino, y cada exponente bajó exactamente en \(1\).
Gema
El truco es siempre el mismo: antes de derivar, reescribí todo como potencia de \(x\). Raíces se vuelven exponentes fraccionarios. Fracciones con \(x\) en el denominador se vuelven exponentes negativos. Después aplicás la regla de siempre.
Una pregunta natural: ¿por qué no es simplemente \(f'(x) \cdot g'(x)\)? Porque al cambiar \(x\) ligeramente, ambos factores cambian al mismo tiempo, y hay que sumar el efecto de cada cambio por separado, dejando al otro factor fijo en su valor original.
Derivar \( h(x) = \sin(x) \cdot (x^3 - 5x) \).
Llamamos \( f(x) = \sin(x) \) y \( g(x) = x^3-5x \). Sus derivadas: \(f'(x)=\cos(x)\) (tabla) y \(g'(x) = 3x^2-5\) (regla de la potencia término a término).
Derivar \( f(x) = 2^x \cdot \ln(x) \).
\( f_1 = 2^x \), con \( f_1' = 2^x\ln(2) \) (fila de exponencial con base \(a\)). \( g = \ln(x) \), con \( g' = \frac{1}{x} \).
Derivar \( f(x) = x^2 \cdot \sin(x) \cdot e^x \). Acá hay tres factores, no dos. La idea es aplicar la regla del producto dos veces, agrupando dos de los tres factores como si fueran "uno solo".
Pensamos a \(f\) como producto de \(u(x) = x^2\sin(x)\) (el bloque) y \(v(x)=e^x\):
$$ f'(x) = u'(x)\cdot e^x + u(x)\cdot e^x $$Como \(v'(x) = e^x\) también, esto se simplifica a \(f'(x) = \left[u'(x)+u(x)\right]e^x\), pero vamos paso a paso sin saltar nada.
Verificación. Tres factores originales, y en el resultado aparecen exactamente tres "bloques" sumados dentro del corchete, cada uno con la derivada aplicada a un factor distinto por turno. Esa es la huella de que el producto de tres factores se deriva sumando tres términos.
Elvira
Traducción de la fórmula: "derivada de la primera por la segunda como está, más la primera como está por derivada de la segunda". Es una suma de dos términos, nunca un solo producto.
- Tanto \( f \) como \( g \) tienen que ser derivables.
- \( g(x) \neq 0 \) en el punto de evaluación, porque no se puede dividir por cero.
Derivar \( h(x) = \dfrac{3\cos(x)}{\sqrt[3]{x}} \).
\( f(x) = 3\cos(x) \), con \( f'(x) = -3\sin(x) \) (tabla, con la constante \(3\) multiplicando). \( g(x) = x^{1/3} \), con \( g'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3} \) (regla de la potencia).
En el segundo término, \(3\cdot\frac{1}{3}=1\), así que queda solo \(\cos(x)\cdot x^{-2/3}\). El denominador \(\left(x^{1/3}\right)^2 = x^{2/3}\):
$$ h'(x) = \boxed{\dfrac{-3x^{1/3}\sin(x) - x^{-2/3}\cos(x)}{x^{2/3}}} $$Derivar \( h(x) = \dfrac{e^x}{x^2+1} \).
\( f(x)=e^x \), con \( f'(x)=e^x \). \( g(x)=x^2+1 \), con \( g'(x)=2x \).
Los dos términos del numerador comparten el factor \(e^x\):
$$ h'(x) = \frac{e^x\left[(x^2+1)-2x\right]}{(x^2+1)^2} = \frac{e^x(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2} $$\( x^2-2x+1 \) es el desarrollo de \( (x-1)^2 \) (el cuadrado de un binomio, con \(a=x\), \(b=1\): \(a^2-2ab+b^2\)):
$$ h'(x) = \boxed{\dfrac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}} $$Interpretación. Como \((x-1)^2 \geq 0\) siempre, y \(e^x>0\) siempre, esta derivada nunca es negativa: la función \(h(x)\) nunca decrece, aunque sí tiene un punto donde la pendiente vale exactamente cero (en \(x=1\)).
Gema
¡Cuidado! En el cociente el orden importa: es "derivada del numerador por denominador" menos "numerador por derivada del denominador". Si invertís el orden de la resta, te queda el signo opuesto en toda la expresión.
- \( g \) tiene que ser derivable en \( x \).
- \( f \) tiene que ser derivable en \( g(x) \).
Visualmente, es como una mamushka de funciones: derivás de afuera hacia adentro, dejando lo de adentro intacto, y multiplicando al final por la derivada de cada capa que vas atravesando.
Derivar \( h(x) = \sin(x^2+3x) \).
Función externa: \(\sin(\bullet)\), con derivada \(\cos(\bullet)\). Función interna: \(x^2+3x\), con derivada \(2x+3\).
Derivar \( h(x) = \ln\big(\tan(2x^3)\big) \).
Capa 1: \(\ln(\bullet)\), derivada \(\frac{1}{\bullet}\). Capa 2: \(\tan(\bullet)\), derivada \(\sec^2(\bullet)\). Capa 3 (la más interna): \(2x^3\), derivada \(6x^2\).
Derivar \( f(x) = \sin^3\Big[\ln(3x^5-4x^2+3)\Big] \).
Capa 1: \((\bullet)^3\), derivada \(3(\bullet)^2\). Capa 2: \(\sin(\bullet)\), derivada \(\cos(\bullet)\). Capa 3: \(\ln(\bullet)\), derivada \(\frac{1}{\bullet}\). Capa 4 (la más interna): \(3x^5-4x^2+3\), derivada \(15x^4-8x\).
Verificación. Contá los factores en el resultado: tienen que ser exactamente cuatro, uno por cada capa identificada en el paso 1. Si te falta o te sobra un factor, revisá qué capa te saltaste.
Derivar \( f(x) = e^{\sqrt{x^2+1}} \). Acá la capa interna no es un polinomio simple, sino otra composición: una raíz de un polinomio.
Capa 1: \(e^{\bullet}\), derivada \(e^{\bullet}\) (es la única función igual a su propia derivada). Capa 2: \(\sqrt{\bullet} = (\bullet)^{1/2}\), derivada \(\frac{1}{2}(\bullet)^{-1/2}\). Capa 3 (interna): \(x^2+1\), derivada \(2x\).
Elvira
La cadena se usa siempre que lo de "adentro" no sea simplemente \(x\) solo. Si tenés \(\sin(x)\) no hace falta cadena, pero si tenés \(\sin(3x+1)\), sí: multiplicás por la derivada del argumento interno.
Error: escribir \( [\sin(3x)]' = \cos(3x) \), olvidando la cadena.
Correcto: \( [\sin(3x)]' = \cos(3x)\cdot 3 \). Siempre hay que multiplicar por la derivada del argumento interno.
Error: en el cociente, escribir \( f\cdot g' - f'\cdot g \), con el orden invertido.
Correcto: es \( f'\cdot g - f\cdot g' \), en ese orden exacto. Invertir los términos cambia el signo del resultado.
Error: en \( f(x) = 5x^2+3 \), derivar el \(3\) como si valiera algo distinto de cero.
Correcto: la derivada de cualquier constante es \(0\). En este caso, \(f'(x)=10x\), sin término constante.
Error: derivar un producto como "derivada por derivada": \( (f\cdot g)' = f'\cdot g' \).
Correcto: hay que aplicar la regla del producto completa: \( (f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g' \).
Error: escribir \( [\cos(x)]' = +\sin(x) \), olvidando el signo negativo.
Correcto: \( [\cos(x)]' = -\sin(x) \). El signo negativo es parte de la regla, no opcional.
Error: intentar aplicar la regla de la potencia directamente sobre \(\sqrt{x}\) o \(\frac{1}{x^3}\) sin reescribirlas antes.
Correcto: primero convertí a potencia: \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) y \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\). Sin esa conversión, no podés aplicar la regla.
Primero: \(5\cdot4\,x^3=20x^3\). Segundo: \(-2\cdot(-3)\,x^{-4}=6x^{-4}\) (dos negativos dan positivo). Tercero: \(\frac{1}{4}x^{-3/4}\).
$$ f'(x) = \boxed{20x^3 + 6x^{-4} + \dfrac{1}{4}x^{-3/4}} $$Verificación rápida. Contá los exponentes: cada uno bajó exactamente \(1\) respecto al original (\(4\to3\), \(-3\to-4\), \(1/4\to-3/4\)).
\(f=e^x\), \(f'=e^x\). \(g=\cos(x)\), \(g'=-\sin(x)\).
Verificación. Sacando \(e^x\) como factor común queda \(e^x[\cos(x)-\sin(x)]\), una forma equivalente más compacta.
\(f=x^2+1\), \(f'=2x\). \(g=\sin(x)\), \(g'=\cos(x)\).
Verificación. El denominador quedó al cuadrado, como exige la regla, y el orden de la resta en el numerador respeta "derivada del numerador por denominador menos numerador por derivada del denominador".
Externa: \(\ln(\bullet)\), derivada \(\frac{1}{\bullet}\). Interna: \(x^3+2x\), derivada \(3x^2+2\).
Verificación. El dominio de \(f\) exige \(x^3+2x>0\); ese mismo denominador aparece en \(f'(x)\), lo cual es coherente.
\(f=\tan(x)\), \(f'=\sec^2(x)\) (tabla). \(g=\ln(x)\), \(g'=\frac{1}{x}\).
Verificación. El dominio exige \(x>0\) (por el logaritmo) y \(x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\) (por la tangente); ambas restricciones también valen para \(g'(x)\).
\(f=x^3-1\), \(f'=3x^2\). \(g=x^2+2\), \(g'=2x\).
Primer producto: \(3x^2(x^2+2) = 3x^4+6x^2\). Segundo producto: \((x^3-1)(2x) = 2x^4-2x\).
$$ \text{numerador} = (3x^4+6x^2) - (2x^4-2x) $$\((3x^4+6x^2)-2x^4+2x\). Los términos \(x^4\) se combinan: \(3x^4-2x^4=x^4\). No hay más términos semejantes para agrupar:
$$ \text{numerador} = x^4 + 6x^2 + 2x $$Verificación. Podés factorizar \(x\) en el numerador: \(x(x^3+6x+2)\). Evaluando en \(x=0\), tanto la forma factorizada como la expandida dan \(f'(0)=0\), coherente con que \(x=0\) anula el numerador completo.
Capa 1: \((\bullet)^2\), derivada \(2(\bullet)\). Capa 2: \(\cos(\bullet)\), derivada \(-\sin(\bullet)\). Capa 3: \(\ln(5x)\), derivada \(\frac{5}{5x}=\frac{1}{x}\) (cadena interna: \(\ln\) por fuera, \(5x\) por dentro, derivada de \(5x\) es \(5\), y se cancela con el \(5\) de adentro).
Verificación. El dominio exige \(x>0\) (por el logaritmo), y ese mismo \(x\) aparece como denominador en \(h'(x)\).
La trampa de este ejercicio es olvidarse de la cadena y escribir directamente "\(2\sec(x)\)", como si \(\sec^2(x)\) fuera \(2\cdot\sec(x)\) en vez de \([\sec(x)]^2\).
Capa 1: \((\bullet)^2\), derivada \(2(\bullet)\). Capa 2 (interna): \(\sec(x)\), con derivada \(\sec(x)\tan(x)\) (regla adicional de tabla extendida para secante).
Verificación. En \(x=0\): \(\sec(0)=1\) y \(\tan(0)=0\), entonces \(f'(0)=2\cdot1\cdot0=0\). Tiene sentido: \(f(x)=\sec^2(x)\) tiene un mínimo en \(x=0\) (vale \(1\) ahí, y crece a ambos lados), así que la pendiente en ese punto debe ser cero.
Este ejercicio combina tres cosas: la regla del producto, la regla de la cadena en cada factor (porque cada base no es simplemente \(x\)), y al final una factorización por término común que reduce muchísimo el resultado.
\(f=(3x+1)^5\): capa externa \((\bullet)^5\) con derivada \(5(\bullet)^4\), capa interna \(3x+1\) con derivada \(3\). Entonces \(f'=5(3x+1)^4\cdot 3=15(3x+1)^4\). \(g=(x-2)^3\): análogamente, \(g'=3(x-2)^2\cdot 1 = 3(x-2)^2\).
En \((3x+1)\), el menor exponente entre los dos términos es \(4\). En \((x-2)\), el menor exponente es \(2\). El factor común que podemos extraer es \(3(3x+1)^4(x-2)^2\) (también sacamos el \(3\) común a ambos coeficientes \(15\) y \(3\)):
$$ f'(x) = 3(3x+1)^4(x-2)^2\Big[5(x-2) + (3x+1)\Big] $$Distribuimos: \(5(x-2)=5x-10\). Sumamos con \(3x+1\): los términos en \(x\) se combinan (\(5x+3x=8x\)) y las constantes también (\(-10+1=-9\)):
$$ 5(x-2)+(3x+1) = 5x-10+3x+1 = 8x-9 $$Verificación. En \(x=2\), el factor \((x-2)^2=0\), entonces \(f'(2)=0\): coherente, porque \(x=2\) es raíz triple de la función original (\((x-2)^3\) se anula ahí, y eso siempre deja huella de pendiente cero en la derivada cuando el exponente de la raíz es mayor o igual a \(2\)).
Antes de derivar, vale la pena notar el dominio: para que \(\sqrt{\sin(x^2)}\) exista, necesitamos \(\sin(x^2)\geq 0\). En \(x=\sqrt{\pi/6}\), tenemos \(x^2=\pi/6\), y \(\sin(\pi/6)=\frac{1}{2}>0\): el punto está dentro del dominio, así que podemos seguir.
Capa 1: \(\sqrt{\bullet}=(\bullet)^{1/2}\), derivada \(\frac{1}{2}(\bullet)^{-1/2}\). Capa 2: \(\sin(\bullet)\), derivada \(\cos(\bullet)\). Capa 3 (interna): \(x^2\), derivada \(2x\).
Acá \(x^2=\pi/6\). Sabemos que \(\cos(\pi/6)=\frac{\sqrt{3}}{2}\) y \(\sin(\pi/6)=\frac{1}{2}\), por lo tanto \(\sqrt{\sin(\pi/6)}=\sqrt{1/2}\):
$$ f'\left(\sqrt{\tfrac{\pi}{6}}\right) = \frac{\sqrt{\pi/6}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1/2}} $$Reescribimos \(\sqrt{\pi/6} = \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{6}}\) y \(\sqrt{1/2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\). Multiplicando y simplificando las raíces (\(\sqrt{6}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\)), todos los factores de \(\sqrt{2}\) y \(\sqrt{3}\) terminan cancelándose:
$$ f'\left(\sqrt{\tfrac{\pi}{6}}\right) = \boxed{\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}} $$Verificación. Numéricamente, \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\approx 0{,}886\), un valor positivo coherente con que tanto \(\cos(\pi/6)\) como \(x\) son positivos en ese punto, así que la curva está creciendo ahí.
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