Este apunte es la puerta de entrada al cálculo de límites con indeterminaciones. Te encontrás con un \(\tfrac{0}{0}\) al evaluar y necesitás saber qué hacer. Vamos a ver las cuatro técnicas que cubren prácticamente todo lo que va a aparecer en un parcial de AM1.
Al terminar vas a poder:
Reconocer qué significa una indeterminación \(\tfrac{0}{0}\) y por qué aparece.
Elegir la técnica correcta según la forma de la expresión: polinomio, raíz par, raíz impar o producto con acotada.
Resolver paso a paso usando factorización, conjugado, cambio de variable o infinitésimo por acotado.
Interpretar el resultado como la "imagen del hueco" en el punto donde la función no está definida.
El valor \(x = a\) no pertenece al dominio de \(\tfrac{f}{g}\): en la gráfica hay un agujero (un punto removible). La función no tiene imagen en \(a\).
Ahora bien, si el límite existe, ese valor límite se puede pensar como la imagen del hueco: el único número que haría a la función continua en \(a\) si se lo asignáramos a mano.
En \(x = a\) hay un agujero; el límite \(L\) es la altura del hueco.
Elvira
Que el límite dé \(\tfrac{0}{0}\) no significa que el resultado sea cero ni que no exista. Significa que hay un agujero en \(x = a\) y tenés que operar algebraicamente para descubrir qué altura tiene ese agujero.
La clave teórica: si \(P(a) = 0\), entonces \((x - a)\) divide a \(P(x)\). Eso es el teorema del resto. Por lo tanto, si el numerador y el denominador dan cero en \(a\), ambos comparten ese factor.
Calcular \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}\).
Evaluamos en \(x = 2\):
$$ \frac{2^2 - 5\cdot 2 + 6}{2^2 - 4} = \frac{4 - 10 + 6}{4 - 4} = \frac{0}{0} $$Indeterminación confirmada: hay que operar.
Es un cuadrático, así que aplicamos Bhaskara con \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\):
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} $$Las raíces son \(x_1 = 3\) y \(x_2 = 2\). Por lo tanto:
$$ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) $$Otro cuadrático, ahora con \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = -4\):
$$ x = \frac{0 \pm \sqrt{0 + 16}}{2} = \pm 2 $$Las raíces son \(x_1 = 2\) y \(x_2 = -2\):
$$ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) $$Este caso tambien podia factorizarse como una diferencia de cuadrados
$$ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $$Tanto numerador como denominador contienen \((x - 2)\). Como en el límite \(x \to 2\) pero \(x \neq 2\), ese factor es no nulo y se cancela.
$$ \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x - 3}{x + 2} $$Interpretación. El dominio de la función original es \(\mathbb{R} - \{2,\, -2\}\). El valor \(-\tfrac{1}{4}\) es la altura del hueco en \(x = 2\): $$\boxed{\;\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4} = -\frac{1}{4}\;}$$
Calcular \(\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 3x + 4}{x^5 + 1}\).
En \(x = -1\):
numerador \((-1)^3 + 3(-1) + 4 = -1 - 3 + 4 = 0\).
Denominador \((-1)^5 + 1 = -1 + 1 = 0\).
Da \(\tfrac{0}{0}\).
Coeficientes de \(x^3 + 0x^2 + 3x + 4\): \(1,\, 0,\, 3,\, 4\).
| Coeficientes | \(-1\) | \(1\) | \(0\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|
| × raíz | \(-1\) | \(1\) | \(-4\) | ||
| Suma | \(1\) | \(-1\) | \(4\) | \(0\) |
Cociente: \(x^2 - x + 4\), resto \(0\). Por lo tanto:
$$ x^3 + 3x + 4 = (x + 1)(x^2 - x + 4) $$Coeficientes de \(x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 1\): \(1,\, 0,\, 0,\, 0,\, 0,\, 1\).
| Coeficientes | \(-1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| × raíz | \(-1\) | \(1\) | \(-1\) | \(1\) | \(-1\) | ||
| Suma | \(1\) | \(-1\) | \(1\) | \(-1\) | \(1\) | \(0\) |
Cociente: \(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1\). Entonces:
$$ x^5 + 1 = (x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) $$Numerador: \((-1)^2 - (-1) + 4 = 1 + 1 + 4 = 6\).
Denominador: \((-1)^4 - (-1)^3 + (-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5\).
$$ \frac{6}{5} $$Interpretación. $$\boxed{\;\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 3x + 4}{x^5 + 1} = \frac{6}{5}\;}$$
Gema
Cuando el polinomio es de grado alto, Ruffini es tu mejor amigo. La raíz del divisor siempre es el valor al que tiende \(x\): justamente ese valor anula el denominador. Si el resto no da cero, te equivocaste en una cuenta.
Error típico: distribuir el denominador después de aplicar el conjugado, perdiendo el factor \((x - a)\) que iba a cancelar.
Correcto: aplicar el conjugado solo donde está la raíz. El otro lado se deja intacto hasta ver qué cancela.
Calcular \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 2}\).
En \(x = 2\):
numerador: \(\sqrt{2 + 7} - 3 = \sqrt{9} - 3 = 3 - 3 = 0\)
Denominador: \(2 - 2 = 0\)
Da \(\tfrac{0}{0}\).
El conjugado de \(\sqrt{x + 7} - 3\) es \(\sqrt{x + 7} + 3\). Multiplicamos arriba y abajo por la misma cantidad (es multiplicar por \(1\), no cambia el valor):
$$ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 2} \cdot \frac{\sqrt{x + 7} + 3}{\sqrt{x + 7} + 3} $$Usamos \((A - B)(A + B) = A^2 - B^2\) con \(A = \sqrt{x + 7}\) y \(B = 3\):
$$ \big(\sqrt{x + 7}\big)^2 - 3^2 = (x + 7) - 9 = x - 2 $$El denominador queda multiplicado por el conjugado, sin tocar:
$$ \lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{(x - 2)\big(\sqrt{x + 7} + 3\big)} $$Interpretación. $$\boxed{\;\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 2} = \frac{1}{6}\;}$$
Calcular \(\displaystyle\lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{5}}{x - 5}\).
En \(x = 5\): \(\sqrt{5} - \sqrt{5} = 0\) y \(5 - 5 = 0\). Da \(\tfrac{0}{0}\).
El conjugado de \(\sqrt{x} - \sqrt{5}\) es \(\sqrt{x} + \sqrt{5}\).
$$ \lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{5}}{x - 5} \cdot \frac{\sqrt{x} + \sqrt{5}}{\sqrt{x} + \sqrt{5}} $$Con \(A = \sqrt{x}\) y \(B = \sqrt{5}\):
$$ \big(\sqrt{x}\big)^2 - \big(\sqrt{5}\big)^2 = x - 5 $$ $$ \lim_{x \to 5} \frac{x - 5}{(x - 5)\big(\sqrt{x} + \sqrt{5}\big)} $$Multiplicamos arriba y abajo por \(\sqrt{5}\):
$$ \frac{1}{2\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{10} $$Interpretación. $$\boxed{\;\lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{5}}{x - 5} = \frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{10}\;}$$
Elvira
Multiplicar por el conjugado es multiplicar por \(1\): no cambia el valor del límite. Lo que cambia es la forma: la raíz se va y aparece el factor que cancela. El denominador original ni se toca.
Procedimiento general:
Si hay \(\sqrt[n]{g(x)}\), hacemos \(t = \sqrt[n]{g(x)}\), es decir \(t^n = g(x)\).
Para reescribir todo el límite en la nueva variable.
Si \(x \to a\), entonces \(t \to \sqrt[n]{g(a)}\). Sin este paso, el límite queda mal.
Ya en variable \(t\), aplicamos Ruffini sobre los polinomios resultantes.
Calcular \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x + 7} - 2}{x - 1}\).
En \(x = 1\):
numerador: \(\sqrt[3]{1 + 7} - 2 = \sqrt[3]{8} - 2 = 2 - 2 = 0\)
Denominador: \(1 - 1 = 0\)
Da \(\tfrac{0}{0}\).
Sea \(t = \sqrt[3]{x + 7}\). Elevando al cubo:
$$ t^3 = x + 7 \quad \Rightarrow \quad x = t^3 - 7 $$Si \(x \to 1\), entonces:
$$ t = \sqrt[3]{1 + 7} = \sqrt[3]{8} = 2 \quad \Rightarrow \quad t \to 2 $$Numerador: \(\sqrt[3]{x + 7} - 2 = t - 2\). Denominador: \(x - 1 = (t^3 - 7) - 1 = t^3 - 8\).
$$ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x + 7} - 2}{x - 1} = \lim_{t \to 2} \frac{t - 2}{t^3 - 8} $$Coeficientes \(1,\, 0,\, 0,\, -8\):
| Coeficientes | \(2\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(-8\) |
|---|---|---|---|---|---|
| × raíz | \(2\) | \(4\) | \(8\) | ||
| Suma | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(0\) |
Interpretación. $$\boxed{\;\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x + 7} - 2}{x - 1} = \frac{1}{12}\;}$$
Calcular \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[5]{x} - 1}\).
En \(x = 1\):
numerador: \(\sqrt[3]{1} - 1 = 1 - 1 = 0\)
Denominador: \(\sqrt[5]{1} - 1 = 1 - 1 = 0\)
Da \(\tfrac{0}{0}\).
Como conviven \(\sqrt[3]{x}\) y \(\sqrt[5]{x}\), tomamos \(x = t^{15}\). El exponente \(15\) es el \(\operatorname{mcm}(3,\, 5)\): así ambas raíces quedan polinómicas.
$$ \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{t^{15}} = t^5 \qquad \sqrt[5]{x} = \sqrt[5]{t^{15}} = t^3 $$Si \(x \to 1\) y \(x = t^{15}\), entonces \(t = \sqrt[15]{1} = 1\), así que \(t \to 1\).
Coeficientes \(1,\, 0,\, 0,\, 0,\, 0,\, -1\):
| Coeficientes | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(-1\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| × raíz | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | ||
| Suma | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) |
Coeficientes \(1,\, 0,\, 0,\, -1\):
| Coeficientes | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(-1\) |
|---|---|---|---|---|---|
| × raíz | \(1\) | \(1\) | \(1\) | ||
| Suma | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) |
Numerador en \(t = 1\): \(1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5\). Denominador: \(1 + 1 + 1 = 3\).
$$ = \frac{5}{3} $$Interpretación. $$\boxed{\;\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[5]{x} - 1} = \frac{5}{3}\;}$$
Gema
El error fatal del cambio de variable es olvidarse de cambiar la tendencia. Si \(x \to a\), calculá a qué tiende \(t\) reemplazando \(x = a\) en la definición de \(t\). Si te lo salteás, el álgebra puede estar perfecta y el resultado igual sale mal.
¿Cuándo una función está acotada? Cuando existe \(M > 0\) tal que \(-M \leq g(x) \leq M\) para todo \(x\) cerca de \(a\). Los casos clásicos: \(\sin(u)\) y \(\cos(u)\) siempre cumplen \(-1 \leq \sin(u),\, \cos(u) \leq 1\), pase lo que pase con \(u\).
Calcular \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{\cos(x)}{x}\).
Infinitésimo por acotado da cero:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \cos(x) = 0 $$Interpretación. Aunque \(\cos(x)\) oscile sin parar entre \(-1\) y \(1\), el factor \(\tfrac{1}{x}\) lo aplasta a cero. $$\boxed{\;\lim_{x \to \infty} \frac{\cos(x)}{x} = 0\;}$$
Calcular \(\displaystyle\lim_{x \to 2} (x - 2) \cdot \sin\!\left(\frac{1}{x^2 - 4}\right)\).
El argumento del seno es \(\tfrac{1}{x^2 - 4}\). Cuando \(x \to 2\), \(x^2 - 4 \to 0\), así que el argumento diverge a \(\pm \infty\) y el seno oscila. No tiene límite, pero…
El seno, sea cual sea su argumento, siempre vive entre \(-1\) y \(1\):
$$ -1 \leq \sin\!\left(\frac{1}{x^2 - 4}\right) \leq 1 \quad \Rightarrow \quad \text{acotado por } M = 1 $$Interpretación. Que el seno oscile no importa: el \((x - 2)\) tiende a cero y aplasta todo. $$\boxed{\;\lim_{x \to 2} (x - 2) \cdot \sin\!\left(\frac{1}{x^2 - 4}\right) = 0\;}$$
Las dos
La clave es separar quién tiende a cero y quién no explota. Seno y coseno siempre están atrapados entre \(-1\) y \(1\), aunque su argumento se vaya al infinito. Infinitésimo por algo que no se escapa: cero.
Tenés el límite adelante y da \(\tfrac{0}{0}\). La pregunta es una sola: ¿qué pruebo ahora? El menú es corto, y conviene recorrerlo de lo más barato a lo más caro.
¿Qué técnica uso para esta indeterminación?
Evaluá en \(x = a\). ¿Da \(\tfrac{0}{0}\)?
No hay nada que salvar: el límite es ese valor.
Confirmar la indeterminación es el paso que más se saltea, y es el que evita resolver un límite que ya estaba resuelto.
¿Hay un factor acotado —un \(\sin\), un \(\cos\)— multiplicando a otro que tiende a \(0\)?
Infinitésimo por acotado. El límite es \(0\).
Es el único camino que da el resultado sin hacer una sola cuenta de álgebra. Por eso conviene mirarlo antes que nada. Técnica 04.
¿Aparece alguna raíz en la expresión?
Factorización.
Sacá el factor \((x - a)\) de arriba y de abajo, con Ruffini si el grado es alto. Técnica 01.
¿De qué índice es la raíz?
Racionalización por conjugado.
Multiplicá y dividí por el conjugado del binomio con raíz: la diferencia de cuadrados hace desaparecer el radical. Técnica 02.
Cambio de variable.
El conjugado no sirve con índice impar. Poné \(t^n = \) radicando, cambiá la tendencia, y quedá un cociente de polinomios. Técnica 03.
Una vez elegida la técnica, la operación clave de cada una:
| Forma de la expresión | Técnica | Operación clave |
|---|---|---|
| Polinomio / Polinomio | Factorización | Sacar factor común \((x - a)\), Ruffini si el grado es alto. |
| Con raíz de índice par | Conjugado | Multiplicar por \(\tfrac{A + B}{A + B}\) si en la expresión aparece \((A - B)\), o por \(\tfrac{A - B}{A - B}\) si aparece \((A + B)\). Siempre el conjugado opuesto. |
| Con raíz de índice impar | Cambio de variable | \(t^n = \text{radicando}\), cambiar tendencia, Ruffini. |
| Producto: uno \(\to 0\), otro acotado | Infinitésimo · acotado | El producto da \(0\) directo, sin más cuentas. |
Y los cuatro pasos comunes a todas ellas:
Evaluá en \(x = a\) y confirmá que da \(\tfrac{0}{0}\).
Identificá la forma y elegí la técnica.
Cancelá el factor responsable del \(\tfrac{0}{0}\).
Evaluá de nuevo e interpretá: ese número es la altura del hueco.
En \(x = 3\): \(9 - 9 = 0\) y \(3 - 3 = 0\). Indeterminación \(\tfrac{0}{0}\).
Cuadrático con \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = -9\):
$$ x = \frac{0 \pm \sqrt{0 + 36}}{2} = \pm 3 $$Raíces \(3\) y \(-3\):
$$ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $$Resultado: $$\boxed{6}$$
En \(x = 1\): \(1 - 1 = 0\) en numerador y denominador. \(\tfrac{0}{0}\).
Coeficientes \(1,\, 0,\, 0,\, -1\):
| Coeficientes | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(-1\) |
|---|---|---|---|---|---|
| × raíz | \(1\) | \(1\) | \(1\) | ||
| Suma | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) |
Cuadrático con \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = -1\):
$$ x = \frac{0 \pm \sqrt{0 + 4}}{2} = \pm 1 $$Raíces \(1\) y \(-1\):
$$ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $$Resultado: $$\boxed{\dfrac{3}{2}}$$
En \(x = 4\): \(\sqrt{4} - 2 = 0\) y \(4 - 4 = 0\). \(\tfrac{0}{0}\). Hay raíz par: conjugado.
Resultado: $$\boxed{\dfrac{1}{4}}$$
En \(x = 8\): \(\sqrt[3]{8} - 2 = 2 - 2 = 0\) y \(8 - 8 = 0\). \(\tfrac{0}{0}\). Raíz impar: cambio de variable.
Tendencia: si \(x \to 8\), entonces \(t = \sqrt[3]{8} = 2\), o sea \(t \to 2\).
Por Ruffini con raíz \(t = 2\) (igual que el Ejemplo 1 de la técnica).
Resultado: $$\boxed{\dfrac{1}{12}}$$
Primer factor: \(\lim_{x \to 0} x = 0\). Es un infinitésimo.
Segundo factor: \(\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right)\). Su argumento se va a \(\pm \infty\) y oscila, pero…
Resultado: $$\boxed{0}$$
En \(x = 0\): \(\sqrt{1} - 1 = 0\) y \(0\) en el denominador. \(\tfrac{0}{0}\). Raíz par: conjugado.
Resultado: $$\boxed{\dfrac{1}{2}}$$
En \(x = 1\): \(1 - 1 = 0\) y \(1 - 1 = 0\). \(\tfrac{0}{0}\). Hay raíz par en el denominador: conviene multiplicar por el conjugado del denominador.
\((\sqrt{x})^2 - 1 = x - 1\):
$$ = \lim_{x \to 1} \frac{(x^2 - 1)(\sqrt{x} + 1)}{x - 1} $$Cuadrático con \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = -1\): raíces \(\pm 1\), entonces \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\).
$$ = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)(\sqrt{x} + 1)}{x - 1} $$Resultado: $$\boxed{4}$$
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