Cuando escribimos \( \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) \), nos preguntamos: ¿hacia dónde se va la función cuando \( x \) crece (o decrece) sin límite?
El corazón del tema: la indeterminación \( \dfrac{\infty}{\infty} \) aparece cuando numerador y denominador "explotan" hacia infinito a la vez. Para resolverla hay que entender qué infinito es más grande.
Elvira
Pensalo como una carrera. Si el numerador corre más rápido que el denominador, el cociente se va a infinito. Si corre más lento, se aplasta a cero. Y si corren parejos, queda el cociente de los coeficientes.
La técnica estándar se llama factor común forzado: sacamos la potencia más alta de \( x \) en numerador y denominador para poder simplificar.
Los términos \( \tfrac{1}{x} \to 0 \), y queda \( x \) solo en el numerador.
Para \( \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{P(x)}{Q(x)} \) con indeterminación \( \tfrac{\infty}{\infty} \), hay tres casos según los grados de \( P \) y \( Q \):
¿Qué son los coeficientes principales? Los que acompañan a la potencia de mayor grado. En \( 3x^4 - x + 7 \), el coeficiente principal es \( 3 \).
Gema
Para los casos I y II ni hace falta calcular: con solo mirar los grados ya sabés el resultado. Solo necesitás hacer el cociente completo cuando los grados son iguales.
Regla general
$$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{P(x)}{Q(x)} = \begin{cases} 0 & \text{si } \text{Gr}(P) < \text{Gr}(Q) \\[4pt] \pm\infty & \text{si } \text{Gr}(P) > \text{Gr}(Q) \\[4pt] \dfrac{a}{b} & \text{si } \text{Gr}(P) = \text{Gr}(Q) \end{cases}$$\( a \) y \( b \) son los coeficientes principales de \( P \) y \( Q \)
Caso I — Gana el denominador, \( L = 0 \)
Calcular \( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^5 + x + 2}{x^6 - 3} \)
\( \text{Gr}(P) = 5 \) y \( \text{Gr}(Q) = 6 \). Como \( 5 < 6 \), el denominador gana.
En numerador y denominador:
Cada fracción del numerador tiende a \( 0 \), así que el numerador se estabiliza en \( 3 \). El denominador, en cambio, crece sin límite. Un valor finito sobre algo que tiende a \( +\infty \) da \( 0 \):
Hay asíntota horizontal en \( y = 0 \).
Caso II — Gana el numerador, \( L = \pm\infty \)
Calcular \( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + x}{3x + 1} \)
\( \text{Gr}(P) = 2 \) y \( \text{Gr}(Q) = 1 \). Como \( 2 > 1 \), el numerador gana.
No existe asíntota horizontal. La función crece sin límite.
Elvira
En el Caso II siempre fijate en el signo. Si el coeficiente principal del numerador es negativo y \( x \to +\infty \), el resultado es \( -\infty \), no \( +\infty \). Ese detalle se escapa seguido.
Caso III — Empate, \( L = a/b \)
Calcular \( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^4 + 3x^2 - 1}{5x^4 + 3} \)
Ambos polinomios tienen grado \( 4 \). El resultado es el cociente de los coeficientes principales: \( \dfrac{2}{5} \).
Hay asíntota horizontal en \( y = \dfrac{2}{5} \), tanto para \( x \to +\infty \) como para \( x \to -\infty \).
La técnica es la misma, pero hay que prestar atención a cómo la raíz interactúa con el factor común.
Propiedad: \( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) y \( \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} \). Al sacar factor común dentro de una raíz, el exponente se divide por el índice.
Gema
Raíz impar: sin drama, la raíz acepta cualquier signo. Raíz par: siempre da positivo, y ahí aparece el valor absoluto. Esa es la diferencia que cambia todo.
Raíz de índice impar — sin problema de signo
Calcular \( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[5]{x^7 + 3x}}{x^2 - 2} \)
Es el término dominante del numerador:
El exponente neto del denominador es \( 2 - \tfrac{7}{5} = \tfrac{3}{5} > 0 \), entonces \( x^{3/5} \to +\infty \). La raíz tiende a \( 1 \) y el paréntesis del denominador también:
Un numerador que se estabiliza en un valor finito sobre un denominador que crece sin límite colapsa a \( 0 \).
Con raíz impar: \( \sqrt[5]{x^7} = x^{7/5} \) directamente, sin drama de signos. Hay asíntota horizontal en \( y = 0 \).
Raíz de índice par — aparece el valor absoluto
Calcular \( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 2} \)
Clave: \( \sqrt{x^2} = |x| \), no \( x \). Como \( x \to -\infty \), entonces \( x < 0 \) y por lo tanto \( |x| = -x \).
Reescribimos el numerador usando \( \sqrt{x^2} = -x \) y dividimos \( x \) en numerador y denominador:
Dentro de la raíz, \( \tfrac{1}{x^2} \to 0 \), así que el numerador tiende a \( -1 \). En el denominador, \( \tfrac{2}{x} \to 0 \), así que tiende a \( 1 \):
Si hubiera sido \( x \to +\infty \): entonces \( |x| = x \) y el resultado sería \( +1 \). El signo del infinito modificó el resultado en este caso.
Elvira
Lo de \( \sqrt{x^2} = |x| \) es la trampa favorita de los parciales. Lo resuelven bien pero se olvidan del signo cuando \( x \to -\infty \), y el resultado queda al revés. Tené eso clavado.
Error 1: reemplazar \( \infty \) directamente sin resolver la indeterminación.
Escribir \( \dfrac{\infty}{\infty} \) y concluir "no existe" no es una resolución. Hay que reducir con factor común forzado.
Error 2: afirmar \( \sqrt{x^2} = x \) sin importar el signo de \( x \).
Siempre \( \sqrt{x^2} = |x| \). Cuando \( x < 0 \), corresponde poner \( -x \).
Error 3: ignorar los signos en el Caso II al decidir si el límite es \( +\infty \) o \( -\infty \).
Chequeá el signo del coeficiente principal y qué signo toma \( x^n \) cuando \( x \to \pm\infty \).
Error 4: confundir el exponente al sacar factor común dentro de una raíz.
Si tenés \( \sqrt[5]{x^7 + \ldots} \), sacás \( x^7 \) adentro y al salir queda \( x^{7/5} \), no \( x^7 \).
Gema
Si el denominador tiene términos sueltos como \( x + 2 \), igual sacás factor \( x \) afuera. El \( 2 \) se convierte en \( \tfrac{2}{x} \to 0 \). ¡No te frena el término independiente!
¿Identificaste la indeterminación? Tiene que ser \( \dfrac{\infty}{\infty} \) para aplicar esta técnica.
¿Comparaste los grados antes de calcular? Si son distintos, el resultado es inmediato.
¿Sacaste el factor común correcto? Dentro de una raíz de índice \( n \), el exponente del factor se divide por \( n \) al salir.
Si aparece \( \sqrt{x^2} \): ¿escribiste \( |x| \) y analizaste el signo según si \( x \to +\infty \) o \( x \to -\infty \)?
¿Verificaste el signo del resultado en el Caso II?
¿Aplicaste \( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \tfrac{k}{x^n} = 0 \) en todos los términos que correspondía?
Resolvé primero por tu cuenta y después abrí la solución para comparar el paso a paso.
\( \text{Gr}(P) = 3 \) y \( \text{Gr}(Q) = 3 \). Empate (Caso III): el resultado será el cociente de los coeficientes principales \( \dfrac{4}{7} \).
Asíntota horizontal en \( y = \dfrac{4}{7} \).
\( \text{Gr}(P) = 2 \) y \( \text{Gr}(Q) = 4 \). Como \( 2 < 4 \), gana el denominador (Caso I). El resultado será \( 0 \).
Asíntota horizontal en \( y = 0 \).
Es el término dominante del radicando:
Como \( \tfrac{4}{3} - 1 = \tfrac{1}{3} > 0 \), entonces \( x^{1/3} \to +\infty \):
No hay asíntota horizontal: el numerador crece más rápido que el denominador.
Clave: como \( x \to -\infty \) tenemos \( x < 0 \), entonces \( |x| = -x \).
Asíntota horizontal en \( y = -\dfrac{2}{3} \) por izquierda. Si fuera \( x \to +\infty \), el resultado sería \( +\dfrac{2}{3} \).
Es \( \infty - \infty \). La estrategia es multiplicar y dividir por el conjugado \( \sqrt{x^2 + x} + x \).
Como \( x \to +\infty \), entonces \( \sqrt{x^2 + x} = |x|\sqrt{1 + \tfrac{1}{x}} = x\sqrt{1 + \tfrac{1}{x}} \):
El conjugado convierte la resta indeterminada en un cociente que ya sabemos resolver.
Gema y Elvira
El ejercicio 5 es un clásico de parcial. Si lo trabajás bien con el conjugado, el resultado es \( \dfrac{1}{2} \). ¡Practicalo hasta que te salga solo!
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