Este es el tercer y último apunte sobre sucesiones y series. En los anteriores estudiamos sucesiones y series de términos positivos. Acá agregamos el ingrediente que faltaba: el signo. Una serie alternada cambia de signo en cada término, y eso modifica por completo la forma de analizarla.
Al terminar vas a poder:
Reconocer una serie alternada y aplicar el criterio de Leibniz paso a paso.
Justificar el decrecimiento de \(b_n\) con una función auxiliar cuando la comparación directa no alcanza.
Distinguir convergencia absoluta de convergencia condicional.
Elegir un criterio para cualquier serie, sea de signo constante o alternada.
Hasta ahora trabajamos con series \(\sum a_n\) donde todos los términos eran positivos. Eso nos permitió aplicar criterios como D'Alembert, Cauchy, integral y comparación. Pero, ¿qué pasa si los términos cambian de signo?
El caso más importante es cuando el signo se alterna en cada paso: \(+, -, +, -, +, \dots\) Ese cambio sistemático se escribe multiplicando por \((-1)^n\) o por \((-1)^{n+1}\), que van tomando los valores \(+1\) y \(-1\) de manera intercalada según la paridad de \(n\).
Una serie alternada es una serie de la forma
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \, b_n = b_1 - b_2 + b_3 - b_4 + \dots $$o, de manera equivalente, comenzando en negativo:
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \, b_n = -b_1 + b_2 - b_3 + b_4 - \dots $$donde \(b_n > 0\) para todo \(n\). Los \(b_n\) son los valores absolutos de cada término: \(b_n = |a_n|\), con \(a_n\) el término general de la serie original.
Gema
Ojo con esto: \(b_n\) es siempre positivo, el signo lo aporta el \((-1)^n\) por separado. Si una serie viene escrita como \(\sum (-1)^n \cdot \frac{1}{n}\), entonces \(b_n = \frac{1}{n}\), nunca \(-\frac{1}{n}\).
Ejemplos clásicos de series alternadas:
- La armónica alternada: \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots\) Acá \(b_n = \dfrac{1}{n}\).
- La serie de Leibniz para \(\pi\): \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots = \frac{\pi}{4}\). Acá \(b_n = \dfrac{1}{2n+1}\).
- \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} = -1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \frac{1}{16} - \dots\) Acá \(b_n = \dfrac{1}{n^2}\).
Las herramientas que vimos para series de términos positivos no se pueden aplicar directamente acá. ¿Por qué? Porque D'Alembert, Cauchy, comparación e integral se construyen razonando sobre términos positivos: comparan tamaños, área bajo curvas positivas, cocientes que tienen que dar un número no negativo. Con signos alternados esa lógica se rompe. Por eso hace falta un criterio nuevo, hecho a medida para series alternadas: el criterio de Leibniz.
El criterio de Leibniz es el criterio de las series alternadas. Solo pide dos condiciones sobre \(b_n\), y las dos son fáciles de verificar en la práctica.
Sea \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} b_n\) una serie alternada con \(b_n > 0\). Si se cumplen las dos condiciones
(i) \(b_n\) es decreciente: \(b_{n+1} \le b_n\) para todo \(n\) (alcanza con que valga a partir de cierto \(N\)).
(ii) \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = 0\),
entonces la serie converge. (El mismo enunciado vale, con los signos espejados, para \(\sum (-1)^n b_n\).)
¿Por qué funciona? La idea se entiende mirando las sumas parciales. Llamemos \(S_n\) a la suma de los primeros \(n\) términos:
$$ \begin{aligned} S_1 &= b_1 \\ S_2 &= b_1 - b_2 \\ S_3 &= b_1 - b_2 + b_3 \\ S_4 &= b_1 - b_2 + b_3 - b_4 \end{aligned} $$y así siguiendo. Cada vez que sumamos un término, el signo cambia, así que las sumas parciales oscilan: suben, bajan, suben, bajan... pero como \(b_n\) decrece, cada salto es más chico que el anterior, y la oscilación se va achicando.
Sumas parciales de \(1 - \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{4} + \dots\): las pares crecen y las impares decrecen, ambas hacia \(S = \ln 2\)
Gema
Mirá el dibujo: \(S_1\) está arriba de todo, \(S_2\) abajo de todo, y cada suma nueva se mete entre las dos anteriores, cada vez más cerca del centro. Por eso decimos que las sumas "atrapan" al valor \(S\) desde los dos lados.
Formalmente, esto pasa porque:
- Las sumas pares \(S_2, S_4, S_6, \dots\) forman una sucesión creciente y acotada superiormente (por \(b_1\)). Toda sucesión creciente y acotada converge (es un resultado que ya usamos con sucesiones).
- Las sumas impares \(S_1, S_3, S_5, \dots\) forman una sucesión decreciente y acotada inferiormente (por \(0\)), así que también converge.
- La diferencia entre una suma impar y la par siguiente es exactamente \(S_{2k-1} - S_{2k} = b_{2k}\), que tiende a \(0\) por la hipótesis (ii). Entonces ambas sucesiones, la de pares y la de impares, convergen al mismo límite \(S\). Ese \(S\) es la suma de toda la serie.
Elvira
Las dos condiciones tienen que cumplirse. Si \(b_n\) no tiende a cero, la serie diverge directamente (por el criterio necesario del apunte anterior). Si \(b_n\) no es decreciente, Leibniz simplemente no dice nada: no significa que diverja, significa que hay que buscar otro camino.
Estudiar la convergencia de \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots\)
El factor alternante es \((-1)^{n+1}\), así que lo que multiplica es
$$ b_n = \frac{1}{n}. $$Confirmamos que \(b_n > 0\) para todo \(n \ge 1\). ✓
Comparamos \(b_{n+1}\) contra \(b_n\) término a término:
$$ b_{n+1} = \frac{1}{n+1} \quad \text{vs.} \quad b_n = \frac{1}{n}. $$Como \(n+1 > n\) para todo \(n\), y al invertir una desigualdad entre positivos el sentido se da vuelta, se cumple
$$ \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} \quad\Longrightarrow\quad b_{n+1} < b_n. \;\; \checkmark $$Las dos hipótesis de Leibniz se cumplen, entonces la serie converge:
$$ \boxed{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \;\; \text{converge}.} $$De hecho, su suma vale \(\ln 2 \approx 0{,}693\) (es el mismo valor que usamos en el gráfico de arriba), pero ese cálculo exacto no sale del criterio de Leibniz: Leibniz solo garantiza que converge, no da el valor de la suma.
Estudiar \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+2)^3}\).
Como \(n \ge 1\), la base \(n+2 \ge 3 > 0\), así que \(b_n > 0\). ✓
Partimos de la desigualdad entre las bases, que es evidente:
$$ n+2 < n+3. $$La función cubo \(t \mapsto t^3\) es creciente para \(t > 0\), así que elevar al cubo conserva el sentido de la desigualdad:
$$ (n+2)^3 < (n+3)^3. $$Invertimos ambos lados (al invertir una desigualdad entre positivos, el sentido se da vuelta):
$$ \frac{1}{(n+3)^3} < \frac{1}{(n+2)^3} \quad\Longrightarrow\quad b_{n+1} < b_n. \;\; \checkmark $$porque el denominador crece sin cota mientras el numerador queda fijo en \(1\). ✓
Estudiar \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \, n}{n^2 + 1}\).
Habría que probar \(\dfrac{n+1}{(n+1)^2+1} < \dfrac{n}{n^2+1}\), que al hacer productos cruzados obliga a expandir un polinomio de grado 3. Existe un atajo mejor: pasar a una función continua.
Extendemos \(b_n\) a una función real \(f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}\), de modo que \(b_n = f(n)\). Si probamos que \(f\) es decreciente en \([1, \infty)\), entonces en particular \(b_n = f(n)\) decrece. Aplicamos la regla del cociente, \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\), con \(u = x\) (\(u'=1\)) y \(v = x^2+1\) (\(v' = 2x\)):
$$ f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}. $$El denominador \((x^2+1)^2\) es siempre positivo. El signo de \(f'(x)\) lo decide el numerador \(1 - x^2\). Para \(x > 1\):
$$ x^2 > 1 \quad\Longrightarrow\quad 1 - x^2 < 0 \quad\Longrightarrow\quad f'(x) < 0. $$Entonces \(f\) es estrictamente decreciente en \((1, \infty)\) (y en \(x=1\) el decrecimiento arranca, porque \(f'(1)=0\) es el único punto donde se anula). Como \(b_n = f(n)\) con \(n \ge 1\), se hereda: \(b_{n+1} < b_n\) para \(n \ge 1\). ✓
Dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de \(n\) presente, que es \(n^2\):
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n/n^2}{(n^2+1)/n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1/n}{1 + 1/n^2} = \frac{0}{1+0} = 0. \;\; \checkmark $$Estudiar \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \, n}{2n+1}\).
Conviene siempre arrancar por acá: es más rápido y a veces ahorra todo el trabajo de la parte (i). Dividimos por \(n\):
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 + 1/n} = \frac{1}{2}. $$Como \(b_n \to \tfrac{1}{2} \ne 0\), la condición (ii) de Leibniz falla. No hace falta seguir revisando el decrecimiento: sin (ii), Leibniz no aplica.
Si \(b_n \to \tfrac{1}{2}\), el término general con signo \(a_n = (-1)^n b_n\) toma valores que se acercan alternadamente a \(+\tfrac{1}{2}\) (cuando \(n\) es par) y a \(-\tfrac{1}{2}\) (cuando \(n\) es impar). Como \(a_n\) no se acerca a un único valor, \(a_n \not\to 0\).
Por el criterio necesario (si \(a_n \not\to 0\), la serie diverge; visto en el apunte anterior), la serie diverge:
$$ \boxed{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \, n}{2n+1} \;\; \text{diverge}.} $$Antes de gastar tiempo verificando que \(b_n\) decrece, fijate si \(b_n \to 0\). Si no da cero, la serie diverge directamente (por el criterio necesario aplicado a \(a_n = (-1)^n b_n\)) y te ahorrás todo el resto del análisis, como pasó en el Ejemplo 4.
Una serie con términos de signo variable puede converger por dos motivos bien distintos. Distinguirlos es clave para entender qué tan fuerte es la convergencia que tenés.
La serie \(\sum a_n\) converge absolutamente si la serie de valores absolutos \(\sum |a_n|\) converge.
La serie \(\sum a_n\) converge condicionalmente si \(\sum a_n\) converge pero \(\sum |a_n|\) diverge.
Si \(\sum |a_n|\) converge, entonces \(\sum a_n\) también converge.
El recíproco no es cierto: hay series que convergen sin converger absolutamente. Esas son, precisamente, las condicionalmente convergentes.
¿Por qué importa la distinción? Una serie absolutamente convergente se puede reordenar libremente sin que cambie su suma, igual que pasa con una suma finita. Una serie condicionalmente convergente, en cambio, se puede reordenar para que su suma dé cualquier número real que uno quiera (es el teorema de reordenamiento de Riemann). Esa es la diferencia profunda entre las dos.
Gema
Resumen práctico: absoluta es más fuerte que condicional. Cuando puedas, estudiá primero \(\sum |a_n|\) con los criterios de series positivas. Si converge, ya está: la original también converge, y no hace falta tocar Leibniz. Solo si \(\sum |a_n|\) diverge tenés que ver si la original converge por otro motivo.
Clasificar \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}\).
porque \(|(-1)^n| = 1\) para todo \(n\). Esta es una \(p\)-serie con \(p = 2 > 1\), así que converge (criterio visto en el apunte anterior).
Como \(\sum |a_n|\) converge, la serie original converge absolutamente:
$$ \boxed{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \;\; \text{converge absolutamente}.} $$Interpretación: no hace falta ni mencionar a Leibniz acá, porque el criterio de comparación de \(p\)-series ya resolvió todo por sí solo.
Clasificar la armónica alternada \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\).
Esta es la serie armónica, una \(p\)-serie con \(p=1\), que diverge. Entonces no hay convergencia absoluta.
Ya lo hicimos en el Ejemplo 1: \(b_n = 1/n\) es positivo, decreciente y tiende a cero, entonces por Leibniz la serie converge.
Converge, pero no converge absolutamente:
$$ \boxed{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \;\; \text{converge condicionalmente}.} $$Clasificar \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n\pi)}{n^2}\).
Evaluamos \(\cos(n\pi)\) para los primeros valores de \(n\): \(\cos(\pi) = -1\), \(\cos(2\pi) = 1\), \(\cos(3\pi) = -1\), \(\cos(4\pi)=1\)... En general,
$$ \cos(n\pi) = (-1)^n \quad \text{para todo entero } n, $$porque el coseno vale \(1\) en los múltiplos pares de \(\pi\) y \(-1\) en los impares. Entonces la serie se reescribe como
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n\pi)}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}. $$Es exactamente la serie del Ejemplo 5: \(\sum 1/n^2\) converge (\(p\)-serie con \(p=2>1\)).
La moraleja: no toda serie con signo variable trae un \((-1)^n\) a la vista. A veces hay que reconocer el patrón alternante escondido detrás de otra expresión.
Clasificar \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \, \frac{3^n}{n!}\).
Definimos \(c_n = \dfrac{3^n}{n!}\), la serie de valores absolutos. Planteamos el cociente:
$$ \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n}. $$Separamos \(3^{n+1} = 3 \cdot 3^n\) y \((n+1)! = (n+1) \cdot n!\):
$$ \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{3 \cdot 3^n}{(n+1) \cdot n!} \cdot \frac{n!}{3^n} = \frac{3 \cdot 3^n \cdot n!}{(n+1) \cdot n! \cdot 3^n}. $$Cancelamos \(3^n\) (aparece en numerador y denominador) y \(n!\) (ídem):
$$ \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{3}{n+1}. $$Por D'Alembert, con \(L<1\) la serie \(\sum c_n\) converge.
Como \(\sum |a_n| = \sum c_n\) converge, la serie original converge absolutamente:
$$ \boxed{\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \, \frac{3^n}{n!} \;\; \text{converge absolutamente}.} $$(Dato de color: la suma vale \(e^{-3}-1 \approx -0{,}950\), pero calcular sumas exactas de series es tema de otra unidad.)
Clasificar \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}\).
Es una \(p\)-serie con \(p = \tfrac{1}{2} < 1\): diverge. No hay convergencia absoluta.
Con \(b_n = 1/\sqrt{n}\): la función \(x \mapsto \sqrt{x}\) es creciente, así que \(n < n+1\) implica \(\sqrt{n} < \sqrt{n+1}\), y al invertir,
$$ b_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{n+1}} < \frac{1}{\sqrt{n}} = b_n. \;\; \checkmark $$Y el límite:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0. \;\; \checkmark $$Las dos condiciones de Leibniz se cumplen: la serie converge.
Con los tres apuntes ya tenés todas las herramientas de la unidad. Esta es una guía para no perderte cuando te dan una serie sin ninguna pista de qué criterio usar.
Decidir la convergencia de \(\sum a_n\)
Criterio necesario. ¿\(a_n \to 0\)?
Diverge y terminaste.
Si el término general no tiende a cero, no hay nada más que probar.
¿Es geométrica o telescópica?
Tenés la suma exacta.
Son los dos casos en que no hace falta quedarse en "converge": se calcula el valor con la fórmula que corresponda.
¿Es alternada?
Estudiá \(\sum |a_n|\) con los criterios de términos positivos. ¿Converge?
Converge absolutamente y terminaste.
La convergencia absoluta implica la de la serie original: no hay que probar nada más.
\(\sum |a_n|\) diverge: aplicá Leibniz a la serie original. ¿Se cumple?
Converge condicionalmente.
Hace falta una estrategia puntual.
Si Leibniz falla, falla por el decrecimiento: el límite ya se probó en el paso 1.
Serie de términos positivos: elegí el criterio por la forma del término general.
| Si ves… | Usá |
|---|---|
| factoriales o potencias \(a^n\) | D’Alembert |
| todo elevado a la \(n\): \((\dots)^n\) | Cauchy |
| cociente de polinomios o de raíces | Comparación o \(p\)-serie |
| un término general fácil de integrar | Integral |
Primero el Paso 1 del algoritmo: el límite de \(b_n = \dfrac{n}{n+1}\).
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + 1/n} = 1 \ne 0. $$Como \(b_n \not\to 0\), el término con signo \(a_n = (-1)^n b_n\) tampoco tiende a \(0\) (oscila cerca de \(\pm 1\)). Por el criterio necesario, la serie diverge directamente. Nunca hacía falta plantear Leibniz.
Elvira
Estos son los tropiezos que más veo en los parciales con series alternadas. Leélos con atención antes de ponerte a practicar: te van a ahorrar puntos.
Estos criterios se piensan para términos positivos. Si la serie es alternada, primero tomás valor absoluto y después aplicás el criterio. El resultado te dice si hay convergencia absoluta, no si hay convergencia "a secas".
Si \(\sum |a_n|\) diverge, eso no significa que \(\sum a_n\) diverja. Puede converger igual por Leibniz (convergencia condicional). El ejemplo clásico es la armónica alternada: \(\sum 1/n\) diverge, pero \(\sum (-1)^{n+1}/n\) converge.
El criterio necesita las dos condiciones: \(b_n\) decreciente y \(b_n \to 0\). Si \(b_n\) no decrece (al menos a partir de cierto \(N\)), Leibniz no se puede aplicar, aunque el límite dé cero.
Falso. \(b_n \to 0\) es necesario pero no suficiente. Por ejemplo, \(\sum 1/n\) cumple \(b_n \to 0\) y diverge igual, porque no es alternada. En una serie alternada, si además \(b_n\) decrece, recién ahí Leibniz garantiza convergencia.
\(a_n\) es el término con signo: \(a_n = (-1)^n b_n\). El criterio de Leibniz se enuncia sobre \(b_n\), los valores absolutos, sin el signo. Si planteás el estudio de decrecimiento sobre \(a_n\) en vez de \(b_n\), el análisis queda mal, porque \(a_n\) oscila y nunca es monótono.
Tabla resumen · Series con signo variable
| Situación | Qué chequear | Conclusión |
|---|---|---|
| \(\sum |a_n|\) converge | Criterio para términos positivos (D'Alembert, Cauchy, comparación, integral, \(p\)-serie) | Convergencia absoluta |
| \(\sum |a_n|\) diverge y \(\sum a_n\) converge | Leibniz se cumple sobre \(b_n\) | Convergencia condicional |
| \(a_n \not\to 0\) | Criterio necesario | Diverge |
Mapa mental de toda la unidad:
- Sucesiones (apunte 1): el ladrillo básico. Convergencia de \(a_n\) a un número.
- Series de términos positivos (apunte 2): \(\sum a_n\) con \(a_n > 0\). Geométrica, \(p\)-serie, D'Alembert, Cauchy, integral, comparación.
- Series alternadas (este apunte): \(\sum (-1)^n b_n\). Leibniz para la convergencia condicional, valor absoluto para la absoluta.
Las dos
Repasá el algoritmo de la sección anterior antes de arrancar: límite primero, después absoluta, y recién si hace falta, Leibniz. Con esos tres pasos resolvés cualquiera de los siguientes.
Tocá cada pregunta para ver la solución completa.
\(b_n = \dfrac{1}{n+1}\). Comparamos por límite contra la armónica \(1/n\):
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1/(n+1)}{1/n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1. $$El límite es finito y positivo, así que \(\sum 1/(n+1)\) y \(\sum 1/n\) tienen el mismo comportamiento (criterio de comparación por paso al límite). Como \(\sum 1/n\) diverge, \(\sum 1/(n+1)\) también diverge. No hay absoluta.
(i) \(b_{n+1} = \dfrac{1}{n+2} < \dfrac{1}{n+1} = b_n\), porque \(n+2 > n+1\). ✓
(ii) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1} = 0\). ✓
Verificación rápida: los primeros valores de \(b_n\) son \(b_1 = 0{,}5\), \(b_2 \approx 0{,}333\), \(b_3 = 0{,}25\): decrecen y se van acercando a cero, coherente con lo que exige Leibniz.
\(b_n = \dfrac{1}{n^3+1}\). Comparamos por límite contra \(1/n^3\):
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1/(n^3+1)}{1/n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{n^3+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + 1/n^3} = 1. $$Límite finito y positivo: mismo comportamiento que \(\sum 1/n^3\), que es una \(p\)-serie con \(p=3>1\) y por lo tanto converge.
Como \(\sum |a_n|\) converge, no hace falta ni plantear Leibniz:
$$ \boxed{\text{Converge absolutamente.}} $$El término general \(a_n = (-1)^n \cdot \dfrac{n}{n+5}\) oscila entre valores cercanos a \(+1\) y a \(-1\) según la paridad de \(n\), así que no tiende a cero.
Por el criterio necesario:
$$ \boxed{\text{Diverge.}} $$Sea \(c_n = \dfrac{n!}{n^n}\). Planteamos el cociente:
$$ \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!}. $$Escribimos \((n+1)! = (n+1)\cdot n!\) y \((n+1)^{n+1} = (n+1)\cdot (n+1)^n\):
$$ \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{(n+1)\cdot n!}{(n+1)\cdot (n+1)^n} \cdot \frac{n^n}{n!}. $$Cancelamos \((n+1)\) y \(n!\), que aparecen en numerador y denominador:
$$ \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}. $$Usamos el límite notable \(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e\):
$$ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\left(1 + 1/n\right)^n} = \frac{1}{e} \approx 0{,}368 < 1. $$Por D'Alembert, \(\sum c_n\) converge, así que \(\sum |a_n|\) converge:
$$ \boxed{\text{Converge absolutamente.}} $$Estudiamos \(\displaystyle\int_2^{\infty} \frac{dx}{x \ln x}\). Sustituimos \(u = \ln x\), de donde \(du = \dfrac{dx}{x}\). Cambiamos los límites: si \(x=2\), \(u=\ln 2\); si \(x \to \infty\), \(u \to \infty\):
$$ \int_2^{\infty} \frac{dx}{x \ln x} = \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{du}{u} = \lim_{T \to \infty} \Big[\ln u\Big]_{\ln 2}^{T} = \lim_{T\to\infty}\big(\ln T - \ln(\ln 2)\big) = \infty. $$La integral impropia diverge, entonces por el criterio integral \(\sum 1/(n \ln n)\) también diverge. No hay convergencia absoluta.
Con \(b_n = \dfrac{1}{n \ln n}\), definimos \(f(x) = \dfrac{1}{x \ln x}\) y estudiamos el denominador \(h(x) = x \ln x\). Por la regla del producto,
$$ h'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1. $$\(h'(x) > 0\) cuando \(\ln x > -1\), es decir cuando \(x > e^{-1} \approx 0{,}368\). Como el dominio de la serie empieza en \(n=2\), y \(2 > e^{-1}\), el denominador \(h(x)\) crece en todo \([2,\infty)\), y por lo tanto \(f(x) = 1/h(x)\) decrece ahí. Entonces \(b_n\) decrece para todo \(n \ge 2\). ✓
El límite: \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n\ln n} = 0\), porque el denominador crece sin cota. ✓
Leibniz se cumple, y no hay absoluta:
$$ \boxed{\text{Converge condicionalmente.}} $$\(\sum |a_n| = \sum 1/n^p\) es una \(p\)-serie: converge si \(p>1\), diverge si \(p \le 1\).
\(\sum 1/n^p\) converge, entonces la serie original converge absolutamente.
\(\sum 1/n^p\) diverge: no hay absoluta. Probamos Leibniz con \(b_n = 1/n^p\):
(i) Como \(n+1 > n > 0\) y elevar a un exponente \(p>0\) conserva el orden entre positivos, \((n+1)^p > n^p\), y al invertir, \(b_{n+1} = 1/(n+1)^p < 1/n^p = b_n\). ✓
(ii) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} 1/n^p = 0\) porque \(p>0\). ✓
Leibniz se cumple: converge condicionalmente.
Nota aparte (fuera de lo pedido): si \(p \le 0\), \(b_n = n^{-p}\) no tiende a cero (es constante igual a \(1\) si \(p=0\), o crece sin cota si \(p<0\)), así que por el criterio necesario la serie diverge en ese caso.
Para \(n \ge 3\), \(\ln n > 1\) (porque \(e \approx 2{,}718 < 3\)), entonces
$$ \frac{\ln n}{n} > \frac{1}{n} \quad \text{para } n \ge 3. $$Como \(\sum 1/n\) diverge, por el criterio de comparación directa (una serie término a término mayor que una que diverge, también diverge) \(\sum \ln n / n\) diverge. No hay absoluta.
Es una indeterminación \(\infty/\infty\); pasamos a la función continua \(f(x) = \ln x / x\) y aplicamos L'Hôpital, derivando numerador y denominador por separado:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} \;\overset{\text{L'H}}{=}\; \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0. $$Entonces \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n} = 0\). ✓
Para \(f(x) = \ln x / x\), aplicamos la regla del cociente con \(u = \ln x\) (\(u' = 1/x\)) y \(v=x\) (\(v'=1\)):
$$ f'(x) = \frac{(1/x)\cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}. $$Para \(x > e\), \(\ln x > 1\), entonces el numerador \(1-\ln x < 0\) y \(f'(x) < 0\): \(f\) decrece en \((e, \infty)\). Como \(e \approx 2{,}718\), esto cubre todo \(n \ge 3\), así que \(b_n\) decrece a partir de \(n=3\) (alcanza con que valga desde cierto \(N\)). ✓
Leibniz se cumple desde \(n=3\) en adelante, y eso alcanza para la convergencia de toda la serie (los primeros términos no afectan si converge o no):
$$ \boxed{\text{Converge condicionalmente.}} $$¿Encontraste algo que no cuadra? Un signo, un despeje, un gráfico que no carga, un link roto — contámelo y lo corrijo. Este apunte se hace mejor entre todos: cada aviso suma para que vos y toda la comunidad Insighters puedan estudiar con el mejor material posible. ¡Gracias!