En el apunte anterior casi siempre se podía verificar el resultado componiendo primero y derivando después. Acá eso deja de ser posible, y por dos motivos distintos.
El primero: los enunciados dicen "sea \(f\) diferenciable" y nunca dan su fórmula. El segundo: en los problemas de razones de cambio las variables dependen del tiempo por una relación física, no por una expresión que uno pueda escribir. En los dos casos, la regla de la cadena pasa de ser una comodidad a ser la única herramienta.
Al terminar vas a poder:
Derivar expresiones donde \(f\) aparece sin fórmula, usando la notación \(f_1\) y \(f_2\).
Combinar la cadena con las reglas del producto y del cociente sin perder términos.
Demostrar identidades del tipo \(x^2 g_x - y^2 g_y = (x-y)g\) que valen para cualquier \(f\).
Resolver problemas de razones de cambio relacionadas con dos o más variables.
Un enunciado típico dice: sea \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) diferenciable y sea \(G(x,y) = f(x^2+y^2,\;xy)\). No hay nada que reemplazar y nada que simplificar. Lo único que se puede hacer es derivar con el árbol, y el resultado va a quedar expresado en términos de las derivadas de \(f\).
Es la misma idea de siempre, con otro nombre: si llamamos \(u\) y \(v\) a los argumentos, \(f_1 = f_u\) y \(f_2 = f_v\). La ventaja de los números es que no obligan a inventar letras, y evitan la confusión de escribir \(f_x\) cuando el primer argumento no es \(x\) sino \(x^2+y^2\).
El árbol es el mismo del caso 2; lo único nuevo es el nombre de las derivadas de arriba.
Y una advertencia que vale por medio apunte: \(f_1\) y \(f_2\) siguen evaluadas en \((u,v)\), no en \((x,y)\). Si el enunciado da datos numéricos, esos datos van a estar en el punto imagen, y hay que calcularlo.
Gema
Antes de derivar, escribí aparte: "\(u = \ldots\), \(v = \ldots\)" y calculá cuánto valen en el punto que te dan. Ese par es donde vas a leer todos los datos del enunciado, y tenerlo anotado evita el 90 % de los errores de este tema.
Los ejercicios rara vez son \(f\) sola: suelen tener la forma \(G(x,y) = x^2y\,f(u,v)\). Ahí conviven dos reglas y hay que aplicarlas en orden: primero la del producto, y dentro del segundo factor, la cadena.
El primer término conserva a \(f\) sin derivar; el segundo conserva a \(p\) sin derivar y abre el árbol. Olvidarse de uno de los dos es el error más frecuente de la unidad.
Un tipo de consigna muy común pide demostrar una relación, por ejemplo \(x^2g_x - y^2g_y = (x-y)\,g\). Suena raro que se pueda probar algo sin conocer \(g\), pero la clave es que los términos con \(f_1\) y \(f_2\) se cancelan entre sí.
El procedimiento es siempre el mismo: calcular las dos parciales con el árbol, armar la combinación que pide el enunciado, y agrupar. Lo que sobrevive tiene que ser lo que se quería probar, y lo que desaparece son las derivadas desconocidas.
Una magnitud depende de dos o tres variables, y esas variables cambian con el tiempo. Se conoce el ritmo al que cambia alguna, y se pide el ritmo al que cambia la magnitud. Es el caso 1 de la cadena, aplicado a un problema real.
Escribir la magnitud pedida como función de las variables que cambian.
Anotar los datos como derivadas: "se aleja a 1,5 m/s" es \(\frac{dx}{dt} = 1{,}5\).
Buscar la ligadura: la relación geométrica o física que ata las variables entre sí.
Derivar la ligadura respecto de \(t\) para obtener el ritmo que falta, y recién ahí aplicar la cadena.
El paso 3 es el que distingue estos problemas. En el caso de la escalera que se resbala, la base y la altura no son independientes: están atadas por Pitágoras, porque la escalera mide siempre lo mismo.
La escalera mide siempre 4 m: esa es la ligadura que ata x con y.
Elvira
Los signos cuentan la historia. Si la base se aleja, \(x' > 0\); si la escalera baja, \(y' < 0\). Cuando termines, mirá si el signo del resultado tiene sentido físico: un área que se achica tiene que dar negativa.
Sea \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) diferenciable y \(G(x,y) = f(x^2,\,y^3)\). Hallar \(G_x\) y \(G_y\).
Le ponemos nombre a lo que entra en \(f\), aunque después no aparezca en la respuesta.
$$ u = x^2 \qquad v = y^3 $$Hay dos caminos, pero \(v\) no depende de \(x\): ese sumando es cero.
$$ G_x = f_1(x^2,y^3)\cdot 2x + f_2(x^2,y^3)\cdot 0 = 2x\,f_1(x^2,y^3) $$Interpretación. $$\boxed{G_x = 2x\,f_1(x^2,y^3) \qquad G_y = 3y^2\,f_2(x^2,y^3)}$$ Los factores \(2x\) y \(3y^2\) son las derivadas internas, y son justamente lo que se olvida. Fijate además que los argumentos de \(f_1\) y \(f_2\) siguen siendo \((x^2,y^3)\): la derivada no los toca.
Sea \(z = f(x-y,\;y-x)\) con \(f\) diferenciable. Demostrar que \(z_x + z_y = 0\).
Los dos términos desconocidos se cancelan de a pares.
$$ z_x + z_y = (f_1 - f_2) + (-f_1 + f_2) = 0 $$Interpretación. $$\boxed{z_x + z_y = 0 \quad \text{para toda } f \text{ diferenciable}}$$ El resultado tiene una lectura geométrica: la función es constante a lo largo de la dirección \((1,1)\), porque moverse ahí no cambia ni \(x-y\) ni \(y-x\). La identidad es el álgebra de ese hecho.
Gema
En los ejercicios de demostrar, no busques simplificar \(f_1\) ni \(f_2\): no se puede. La estrategia es al revés: armá la combinación que te piden y mirá qué se cancela. Lo que quede tiene que ser el lado derecho.
Una escalera de 4 m se apoya contra una pared y su base empieza a resbalar. Cuando la base está a 3,7 m de la pared, se aleja a razón de 1,5 m/s. ¿Cuál es la razón de cambio del área del triángulo que forman la escalera, la pared y el suelo en ese instante?
\(x\) es la distancia de la base a la pared e \(y\) la altura a la que llega la escalera. Las dos dependen del tiempo.
$$ A(x,y) = \frac{x\,y}{2} $$La escalera no se estira: su longitud es constante. Eso ata las dos variables.
$$ x^2 + y^2 = 16 \;\Longrightarrow\; y = \sqrt{16 - 3{,}7^2} = \sqrt{2{,}31} \approx 1{,}52 \text{ m} $$Este es el paso que da el dato que falta. Como \(16\) es constante, su derivada es cero.
$$ 2x\,x' + 2y\,y' = 0 \;\Longrightarrow\; y' = -\frac{x\,x'}{y} = -\frac{3{,}7 \cdot 1{,}5}{1{,}52} \approx -3{,}65 \;\text{m/s} $$Interpretación. $$\boxed{\frac{dA}{dt} \approx -5{,}62 \;\text{m}^2\text{/s}}$$ El signo negativo dice que el área se está achicando, y tiene sentido: la escalera ya está muy tendida, así que baja mucho más rápido de lo que la base se aleja. Notá que la altura cae a 3,65 m/s mientras la base avanza a 1,5 m/s: ese desbalance es lo que hunde el área.
Sea \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) diferenciable con \(f(2,1) = 3\) y \(\nabla f(2,1) = (4,3)\). Si \(F(x,y) = x^2y\,f(x^2+y^2,\;xy)\), hallar \(\nabla F(1,1)\).
Es lo primero: sin esto, los datos del enunciado no se pueden usar.
$$ u(1,1) = 1^2+1^2 = 2 \qquad v(1,1) = 1 \cdot 1 = 1 \;\Longrightarrow\; (u,v) = (2,1) \;\checkmark $$El primer factor es \(p = x^2y\), con \(p_x = 2xy\). El segundo abre el árbol, con \(u_x = 2x\) y \(v_x = y\).
$$ F_x = 2xy\,f(u,v) + x^2y\,\big[f_1(u,v)\,2x + f_2(u,v)\,y\big] $$Los datos entran acá: \(f(2,1) = 3\), \(f_1(2,1) = 4\) y \(f_2(2,1) = 3\).
$$ F_x(1,1) = 2 \cdot 3 + 1 \cdot \big[4 \cdot 2 + 3 \cdot 1\big] = 6 + 11 = 17 $$Ahora \(p_y = x^2\), \(u_y = 2y\) y \(v_y = x\).
$$ F_y = x^2 f(u,v) + x^2y\,\big[f_1(u,v)\,2y + f_2(u,v)\,x\big] $$Interpretación. $$\boxed{\nabla F(1,1) = (17,\,14)}$$ Nunca supimos quién es \(f\), y la respuesta salió igual: son tres números —el valor y las dos parciales en \((2,1)\)— combinados con la estructura de \(F\). El paso 1 es el que sostiene todo: si el punto imagen hubiera dado otro, los datos del enunciado no habrían servido para nada.
Elvira
En este tema los errores no se ven: como no hay fórmula para \(f\), no hay un número final que chirríe. Por eso conviene ser obsesivo con dos cosas: los argumentos de \(f_1\) y \(f_2\), y la cantidad de términos.
Error: olvidar la derivada interna. Escribir \(\frac{\partial}{\partial x}f(x^2,y^3) = f_1(x^2,y^3)\).
Correcto: falta el factor \(2x\). La cadena siempre multiplica por la derivada del argumento: \(2x\,f_1(x^2,y^3)\). Es el mismo olvido que en Análisis I con \(\sin(x^2)\).
Error: evaluar \(f_1\) y \(f_2\) en \((x,y)\). Con \(F(x,y) = x^2y\,f(x^2+y^2,xy)\) en el punto \((1,1)\), usar \(\nabla f(1,1)\).
Correcto: los datos van en el punto imagen, que acá es \((u,v) = (2,1)\). Ese es el punto donde el enunciado da la información, y por eso está elegido así.
Error: derivar el producto \(p(x,y)\,f(u,v)\) y quedarse con un solo término, casi siempre el de la cadena.
Correcto: son dos: \(p_x\,f + p\,[f_1u_x + f_2v_x]\). Control rápido: si en tu respuesta no aparece \(f\) sin derivar en ningún lado, te faltó el primer término.
Error: en razones de cambio, usar solo los datos que da el enunciado y no buscar la ligadura. En la escalera, aplicar la cadena sin conocer \(y'\).
Correcto: la relación geométrica —acá \(x^2+y^2 = 16\)— se deriva respecto de \(t\) y de ahí sale el ritmo que falta. Sin ese paso el problema queda con dos incógnitas.
Error: reemplazar los valores numéricos antes de derivar la ligadura. Escribir \(3{,}7^2 + y^2 = 16\) y después intentar derivar respecto de \(t\).
Correcto: mientras se deriva, \(x\) e \(y\) son funciones del tiempo. Los números se reemplazan al final: si los ponés antes, la relación se convierte en una igualdad entre constantes y su derivada es cero.
| Situación | Qué se hace |
|---|---|
| \(G = f(u,v)\) con \(f\) genérica | Árbol, con \(f_1\) y \(f_2\) evaluadas en \((u,v)\) |
| \(G = p(x,y)\,f(u,v)\) | Producto primero, cadena adentro: dos términos |
| Demostrar una identidad | Armar la combinación pedida y ver qué se cancela |
| Razones de cambio | Cadena en \(t\), más la ligadura derivada en \(t\) |
Nombrar los argumentos y calcular el punto imagen antes de derivar nada.
La cadena siempre multiplica por la derivada interna, aunque \(f\) no tenga fórmula.
Con un producto hay dos términos: uno con \(f\) sin derivar y otro con el árbol.
En razones de cambio, la ligadura también se deriva respecto de \(t\).
Elvira y Gema
Acá no se puede verificar componiendo, así que el control es otro: contá los términos que te tienen que quedar y revisá los argumentos de cada \(f_1\) y \(f_2\). Los dos últimos son los que más caen en parcial.
Es una diferencia de cuadrados.
$$ w_x\,w_y = (f_1+f_2)(f_1-f_2) = f_1^{\,2} - f_2^{\,2} $$Resultado: $$ \boxed{w_x\,w_y = f_1^{\,2} - f_2^{\,2}} $$
Interpretación. La identidad vale para cualquier \(f\), y no porque los términos desconocidos se cancelen sino porque se reagrupan. Es otra forma de la misma estrategia.
Sin esto los datos no sirven.
$$ \vec{r}(2) = (2,\; 4-4,\; e^0) = (2,0,1) = P \;\checkmark $$Es el caso 1 con tres variables intermedias: tres caminos, tres sumandos.
$$ \frac{d(g \circ \vec{r})}{dt}(2) = \nabla g(P) \cdot \vec{r}\,'(2) = (4,2,2)\cdot(1,4,1) $$Resultado: $$ \boxed{\frac{d(g \circ \vec{r})}{dt}(2) = 4 + 8 + 2 = 14} $$
Interpretación. El árbol tendría tres ramas en lugar de dos, pero la fórmula vectorial las junta todas: gradiente por velocidad, sin importar cuántas variables haya.
Conviene separarlo: queda mucho más fácil de derivar.
$$ u = \frac{x+y}{xy} = \frac{1}{y} + \frac{1}{x} \;\Longrightarrow\; u_x = -\frac{1}{x^2},\quad u_y = -\frac{1}{y^2} $$Como \(f\) es de una sola variable, su derivada se escribe \(f'\).
$$ g_x = y\,f(u) + xy\,f'(u)\left(-\frac{1}{x^2}\right) = y\,f(u) - \frac{y}{x}f'(u) $$ $$ g_y = x\,f(u) + xy\,f'(u)\left(-\frac{1}{y^2}\right) = x\,f(u) - \frac{x}{y}f'(u) $$Los dos términos con \(f'\) son idénticos y se van juntos.
$$ x^2g_x - y^2g_y = xy\,f(u)\,(x-y) = (x-y)\,g $$Resultado: $$ \boxed{x^2g_x - y^2g_y = (x-y)\,g} $$
El dato que falta. \(g(1,1) = 1 \cdot 1 \cdot f\!\left(\frac{2}{1}\right) = f(2)\). Alcanza con conocer el valor \(f(2)\); no hace falta nada sobre \(f'\), porque en la expresión de \(g\) la derivada no aparece.
El primer sumando es directo; el segundo pide producto y cadena, con \(u = y^2\) y \(v = 2x-y\).
$$ G_x = 2f_x(x,y) - \Big[\,2xy\,f(u,v) + x^2y\big(f_1 \cdot 0 + f_2 \cdot 2\big)\Big] $$Acá está el truco del ejercicio: con \(x = 0\), los factores \(2xy\) y \(x^2y\) se anulan y todo el corchete desaparece.
$$ G_x(0,2) = 2f_x(0,2) - \big[0 + 0\big] = 2f_x(0,2) $$Otra vez todos los términos del corchete tienen factor \(x^2\), que en \(x=0\) vale cero.
$$ G_y(0,2) = 2f_y(0,2) $$Resultado: $$ \boxed{\nabla G(0,2) = \big(2f_x(0,2),\; 2f_y(0,2)\big) = 2\,\nabla f(0,2)} $$
Interpretación. No hizo falta saber nada de \(f\) en el punto \((4,-2)\) —que es donde caen \(u\) y \(v\)— porque todo lo que dependía de ahí venía multiplicado por una potencia de \(x\). El punto \((0,2)\) del enunciado está elegido exactamente para eso.
Con dos lados y el ángulo comprendido, el área de cualquier triángulo es la mitad del producto por el seno.
$$ A(x,\theta) = \frac{1}{2}\,x^2 \sin\theta $$Acá no hay ligadura: \(x\) y \(\theta\) varían de forma independiente y el enunciado da los dos ritmos.
$$ A_x = x\sin\theta \qquad A_\theta = \frac{1}{2}x^2\cos\theta $$Con \(\sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
$$ \frac{dA}{dt} = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\pi}{90} = \frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}\,\pi}{10} $$Resultado: $$ \boxed{\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{2}\,(15+\pi)}{10} \approx 2{,}57 \;\text{m}^2\text{/h}} $$
Interpretación. Los dos efectos suman porque las dos variables crecen. Y el reparto es desparejo: el crecimiento del lado aporta \(2{,}12\) y el del ángulo apenas \(0{,}44\), porque \(\frac{\pi}{90}\) rad/h es una apertura muy lenta.
"Decrece" significa derivada negativa: es la traducción que decide el resultado.
$$ V = \pi r^2 h \qquad \frac{dr}{dt} = 2 \qquad \frac{dh}{dt} = -3 $$Resultado: $$ \boxed{\frac{dV}{dt} = 125\pi \approx 392{,}7 \;\text{cm}^3\text{/s}} $$
Interpretación. El volumen crece a pesar de que la altura baja: el radio entra al cuadrado, así que ensancharse pesa más que achatarse. Si el radio creciera más lento, el signo podría darse vuelta.
La cadena multiplica por la derivada del argumento. El primer argumento es \(x^2\), cuya derivada respecto de \(x\) es \(2x\).
\(f_1\) es una función de los mismos dos argumentos que \(f\). Se evalúa en \((x^2, y^3)\), no en \((x,y)\).
Resultado: $$ \boxed{G_x = 2x\,f_1(x^2,y^3) \qquad G_y = 3y^2\,f_2(x^2,y^3)} $$
Interpretación. Los dos errores son distintos y hay que verlos por separado: uno es de cuentas —falta un factor— y el otro es de lectura, porque confunde en qué punto vive la información. En un ejercicio con datos numéricos, el segundo es el que hace que la respuesta sea directamente otra.
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