Recuperatorio del primer parcial de Análisis Matemático II · Recuperatorio resuelto

01

Trayectoria en espiral

Velocidad y aceleración Rapidez Ortogonalidad

▼

Consigna

Una persona en un planeador vuela en espiral hacia arriba debido a una corriente de aire de rápido ascenso, con una trayectoria dada por el siguiente vector de posición:

$$ \vec{r}(t) = (3\cos t)\hat{i} + (3\sin t)\hat{j} + t^{2}\hat{k} $$

a) Calcular la rapidez del planeador para cualquier instante $t$. ¿Es constante su rapidez?

b) Calcular los vectores de velocidad y aceleración.

c) Determinar, si existen, los instantes donde la aceleración del planeador es ortogonal a su velocidad.

Lo que hace falta recordar

Sobre una curva $\vec{r}(t)$, la velocidad y la aceleración son la primera y la segunda derivada, componente a componente. La rapidez es el módulo de la velocidad:

$$ \vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t) \qquad \vec{a}(t) = \vec{r}\,''(t) \qquad \|\vec{v}(t)\| = \sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}} $$

Dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar se anula.

Parte b — Velocidad y aceleración (conviene primero)

Desarrollo

1

Derivar componente a componente

$$ \vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t) = (-3\sin t)\hat{i} + (3\cos t)\hat{j} + 2t\,\hat{k} $$

$$ \vec{a}(t) = \vec{r}\,''(t) = (-3\cos t)\hat{i} + (-3\sin t)\hat{j} + 2\,\hat{k} $$

El giro en el plano $xy$ vuelve a dar coseno y seno con el signo de siempre; la altura $t^{2}$ aporta una velocidad vertical que crece con $t$ y una aceleración vertical constante.

Resultado

$$ \vec{v}(t) = (-3\sin t,\; 3\cos t,\; 2t) \qquad \vec{a}(t) = (-3\cos t,\; -3\sin t,\; 2) $$

Parte a — Rapidez

Desarrollo

1

Armar el módulo de $\vec{v}(t)$

$$ \|\vec{v}(t)\| = \sqrt{(-3\sin t)^{2} + (3\cos t)^{2} + (2t)^{2}} $$

2

Simplificar con la identidad pitagórica

$$ 9\sin^{2}t + 9\cos^{2}t = 9 \;\Longrightarrow\; \|\vec{v}(t)\| = \sqrt{9 + 4t^{2}} $$

3

Ver si depende de $t$

El radicando crece con $t^{2}$: la rapidez no es un número fijo, aumenta a medida que el planeador sube. Es lo que se espera de una espiral que además gana altura sin frenar.

Resultado

$$ \|\vec{v}(t)\| = \sqrt{9 + 4t^{2}} $$

No es constante: crece con $t$. Solo sería constante si la trayectoria no ganara altura.

Gema

Chequeo rápido: en $t=0$ da $\|\vec{v}(0)\| = 3$, que es exactamente la rapidez del giro puro en el plano $xy$ (radio $3$). Tiene sentido: ahí todavía no acumuló velocidad vertical.

Parte c — Ortogonalidad entre $\vec{a}$ y $\vec{v}$

Desarrollo

1

Plantear el producto escalar

$$ \vec{v}(t) \cdot \vec{a}(t) = (-3\sin t)(-3\cos t) + (3\cos t)(-3\sin t) + (2t)(2) $$

2

Simplificar

Los dos primeros términos son $9\sin t\cos t$ y $-9\sin t\cos t$: se cancelan entre sí.

$$ \vec{v}(t) \cdot \vec{a}(t) = 9\sin t\cos t - 9\sin t\cos t + 4t = 4t $$

3

Igualar a cero

$$ 4t = 0 \;\Longrightarrow\; t = 0 $$

Resultado

Sí, existe: en $t = 0$ (el instante de partida) la aceleración es ortogonal a la velocidad. Para cualquier otro $t$, $\vec{v}\cdot\vec{a} = 4t \neq 0$.

Elvira

La parte del giro ($xy$) es siempre ortogonal por sí sola — es el clásico círculo, donde velocidad y aceleración centrípeta son perpendiculares en todo instante. Lo que decide todo acá es la componente en $z$: como la aceleración vertical es constante y la velocidad vertical crece, el producto $4t$ solo se anula en el arranque.

02

Verdadero o falso

Continuidad Diferenciabilidad Límites dobles

▼

Consigna

Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando claramente la respuesta:

Inciso a

Consigna

Sea

$$ f(x,y) = \begin{cases} (x^{2}+y^{2})\sin\!\left(\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\right) & \text{si } x+y \neq 0 \\[8pt] 0 & \text{si } x+y = 0 \end{cases} $$

es continua y diferenciable en $(0,0)$.

Lo que hace falta recordar

Infinitésimo por acotada tiende a cero: si $|\sin(u)| \leq 1$ para cualquier $u$, entonces $(x^{2}+y^{2})\sin(u)$ queda atrapado entre $-(x^{2}+y^{2})$ y $x^{2}+y^{2}$, que van a $0$.

Desarrollo

1

Leer bien la partición

Ojo con esto: la condición no es $(x,y)\neq(0,0)$ como en la mayoría de los ejercicios de este tipo, sino $x+y \neq 0$. La rama de abajo ($f=0$) no cubre solo el origen: cubre toda la recta $y=-x$, y el punto $(0,0)$ está sobre esa recta. Por definición, $f(0,0) = 0$.

2

Acotar fuera de la recta

Donde $x+y\neq0$, como $\bigl|\sin(1/(x^2+y^2))\bigr| \leq 1$:

$$ \bigl|f(x,y)\bigr| \leq x^{2}+y^{2} \;\xrightarrow[(x,y)\to(0,0)]{}\; 0 $$

3

Sobre la recta $x+y=0$

Ahí $f$ vale $0$ en todos sus puntos, así que acercarse por esa recta también da límite $0$. La cota del paso anterior y este valor exacto coinciden: en todo el entorno de $(0,0)$, sin excepción, $f$ queda entre $0$ y $x^2+y^2$.

4

Continuidad

$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0) \;\Longrightarrow\; f \text{ es continua en } (0,0) $$

5

Las derivadas parciales

Sobre el eje $x$ ($y=0$) es $x+0=x\neq0$ salvo en $x=0$, así que ahí rige la primera rama:

$$ f_{x}(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-0}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{h^{2}\sin(1/h^{2})}{h} = \lim_{h\to 0} h\sin\!\left(\frac{1}{h^{2}}\right) = 0 $$

Mismo argumento (infinitésimo por acotada) para $f_y(0,0) = 0$, por simetría.

6

Diferenciabilidad: el cociente de la definición

Con $f(0,0)=f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$, el cociente se reduce a $f(x,y)/\sqrt{x^2+y^2}$. Fuera de la recta, y usando otra vez la cota del paso 2:

$$ \left|\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right| \leq \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = \sqrt{x^{2}+y^{2}} \;\xrightarrow[(x,y)\to(0,0)]{}\; 0 $$

Y sobre la recta $x+y=0$ el cociente es exactamente $0/\sqrt{x^2+y^2}=0$. Con las dos partes de acuerdo, el límite del cociente es $0$.

Resultado

Verdadero. $f$ es continua y también diferenciable en $(0,0)$, con derivada total nula. La partición inusual de la función (por $x+y$, no por el punto) no cambia nada: alcanza con notar que $(0,0)$ cae en la rama que ya vale $0$.

Gema

El $\sin(1/(x^2+y^2))$ oscila cada vez más rápido cerca del origen, pero eso no importa: lo multiplica $x^2+y^2$, que lo aplasta a cero más rápido de lo que oscila. Nunca hace falta saber cuánto vale el seno, solo que está entre $-1$ y $1$.

Inciso b

Consigna

$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2x^{2}y}{x^{4}+y^{2}} = 0 $$

Lo que hace falta recordar

Cuando el denominador combina potencias de distinto grado en $x$ e $y$ (acá $x^4$ y $y^2$), las rectas $y=mx$ casi nunca alcanzan para descartar el límite: la trayectoria que suele desenmascararlo es una parábola que iguala esos grados, típicamente $y=x^2$.

Desarrollo

1

Probar primero con rectas

Sobre $y=mx$:

$$ \frac{2x^{2}(mx)}{x^{4}+(mx)^{2}} = \frac{2mx^{3}}{x^{4}+m^{2}x^{2}} = \frac{2mx}{x^{2}+m^{2}} \;\xrightarrow[x\to 0]{}\; 0 $$

Da $0$ para toda recta. Todavía no alcanza: hay que probar con más trayectorias antes de afirmar que el límite existe.

2

Probar con la parábola $y = x^{2}$

Esta trayectoria iguala el grado de $x^4$ con el de $y^2 = x^4$, que es justo lo que hace explotar la estructura del denominador:

$$ \frac{2x^{2}(x^{2})}{x^{4}+(x^{2})^{2}} = \frac{2x^{4}}{x^{4}+x^{4}} = \frac{2x^{4}}{2x^{4}} = 1 $$

3

Comparar

Sobre esta parábola el límite da $1$, no $0$ — y ni siquiera depende de $x$: es $1$ en cada punto de la curva, salvo el origen. Con las rectas dando $0$ y la parábola dando $1$, el límite doble no existe.

Resultado

Falso. El límite no existe: sobre $y=x^2$ da $1$, distinto de $0$ (y distinto del $0$ que dan todas las rectas).

Dónde se pierde el punto

Probar solo con rectas $y=mx$ y, como todas dan $0$, concluir que el límite existe y vale $0$. Las rectas nunca prueban que un límite existe: solo lo hacen sospechar. Cuando el denominador mezcla $x^4$ con $y^2$, la trayectoria que realmente pone a prueba el límite es la que iguala esos grados.

03

Continuidad con valor absoluto

Continuidad Diferenciabilidad Plano tangente

▼

Consigna

La función

$$ f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{|y|\,x}{\sqrt{4x^{2}+y^{2}}} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\[8pt] 0 & \text{si } (x,y) = (0,0) \end{cases} $$

a) ¿Es continua en $(0,0)$?

b) ¿Es diferenciable en $(0,0)$? Justificar las respuestas.

c) ¿Existe el plano tangente a esta función en el punto $(-1,\,1)$? Si existe, hallarlo.

Parte a — Continuidad en (0,0)

Lo que hace falta recordar

Con coordenadas polares $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $(x,y)\to(0,0)$ equivale a $r\to0$ para cualquier $\theta$. Sirve cuando se puede acotar la parte angular y aislar el $r$ que se va a cero.

Desarrollo

1

Pasar a polares

$$ f(r,\theta) = \frac{r\,|\!\sin\theta|\cdot r\cos\theta}{\sqrt{4r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta}} = \frac{r^{2}\,|\!\sin\theta|\cos\theta}{r\sqrt{4\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}} = \frac{r\,|\!\sin\theta|\cos\theta}{\sqrt{4\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}} $$

El $r$ del numerador queda solo ($r>0$ sale como $r$ de la raíz).

2

Acotar la parte angular

El numerador angular está acotado: $|\!\sin\theta \cos\theta| \leq 1$. El denominador nunca se acerca a $0$: $4\cos^2\theta+\sin^2\theta = 1+3\cos^2\theta \geq 1$. Así que todo el factor angular queda acotado, sin importar $\theta$:

$$ \bigl|f(r,\theta)\bigr| \leq \frac{r\cdot 1}{1} = r $$

3

Concluir

Como $r\to 0$ para cualquier ángulo, y la cota no depende de $\theta$, el límite doble existe y vale $0$.

Resultado

Sí, $f$ es continua en $(0,0)$: $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0)$.

Elvira

Que la cota final no dependa de $\theta$ es la parte que hay que revisar siempre en polares. Si quedara algo como $\dfrac{1}{\cos\theta}$, la cota se dispara para ciertos ángulos y ya no sirve.

Parte b — Diferenciabilidad en (0,0)

Desarrollo

1

Las derivadas parciales

$$ f_{x}(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-0}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{0\cdot h}{h\sqrt{4h^{2}}} = 0 \qquad f_{y}(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(0,h)-0}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|h|\cdot 0}{h\sqrt{h^{2}}} = 0 $$

Las dos existen y valen $0$.

2

El cociente de la definición, en polares

Con $f(0,0)=f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$, el cociente es $f(x,y)/\sqrt{x^2+y^2} = f(r,\theta)/r$. Retomando la expresión en polares del paso 1 de la parte a, antes de acotar:

$$ \frac{f(r,\theta)}{r} = \frac{|\!\sin\theta|\cos\theta}{\sqrt{4\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}} $$

3

Ver si depende de $\theta$

El $r$ desapareció por completo: esta expresión ya no tiende a nada cuando $r\to 0$ porque no tiene $r$; es una función de $\theta$ sola, y no es constante. Por ejemplo:

$$ \theta=\frac{\pi}{4}:\; \frac{\tfrac{\sqrt2}{2}\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}}{\sqrt{2+\tfrac12}} = \frac{1/2}{\sqrt{5/2}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \qquad \theta=0:\; \frac{0\cdot 1}{\sqrt{4}} = 0 $$

El cociente vale distinto según por dónde se llegue al origen — y ni siquiera se achica con $r$: a lo largo de un mismo rayo ($\theta$ fijo, $r$ variando) el cociente es constante e igual a ese valor no nulo.

Resultado

No, $f$ no es diferenciable en $(0,0)$. Existen las dos parciales y son $0$, pero el cociente de la definición no tiene límite: depende de la dirección por la que uno se acerca.

Dónde se pierde el punto

Dar por diferenciable a $f$ porque es continua y tiene las dos parciales en $(0,0)$. Ninguna de esas dos cosas alcanza. El $|y|$ es la pista: introduce una arista en la superficie a lo largo del eje $x$, y ese tipo de "quiebre" es justo lo que la diferenciabilidad prohíbe.

Parte c — Plano tangente en $(-1,1)$

Lo que hace falta recordar

Cerca de $(-1,1)$ es $y=1>0$, así que $|y|=y$ en todo un entorno del punto: ahí $f$ es simplemente

$$ f(x,y) = \frac{xy}{\sqrt{4x^{2}+y^{2}}} $$

un cociente de funciones derivables con denominador no nulo ($4x^2+y^2=0$ solo en el origen). Por eso ahí sí es diferenciable, sin ningún análisis extra.

Desarrollo

1

Derivar con la regla del cociente

$$ f_{x} = \frac{y(4x^{2}+y^{2}) - xy(4x)}{(4x^{2}+y^{2})^{3/2}} = \frac{y^{3}}{(4x^{2}+y^{2})^{3/2}} $$

$$ f_{y} = \frac{x(4x^{2}+y^{2}) - xy(y)}{(4x^{2}+y^{2})^{3/2}} = \frac{4x^{3}}{(4x^{2}+y^{2})^{3/2}} $$

2

Evaluar en $(-1,1)$

Con $4x^2+y^2 = 4+1 = 5$:

$$ f(-1,1) = \frac{(-1)(1)}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} \qquad f_{x}(-1,1) = \frac{1}{5\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{25} \qquad f_{y}(-1,1) = \frac{-4}{5\sqrt{5}} = -\frac{4\sqrt{5}}{25} $$

3

Armar el plano y simplificar

$$ z = -\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{\sqrt{5}}{25}(x+1) - \frac{4\sqrt{5}}{25}(y-1) $$

Los términos independientes se cancelan ($-\tfrac{5\sqrt5}{25}+\tfrac{\sqrt5}{25}+\tfrac{4\sqrt5}{25}=0$), y queda una expresión limpia:

Resultado

Sí, existe (el punto no involucra al origen, donde está el problema).

$$ z = \frac{\sqrt{5}}{25}\bigl(x - 4y\bigr) $$

Gema

No hace falta releer todo el análisis del origen para esta parte: en $(-1,1)$ no hay valor absoluto que abra en dos casos ni límite que analizar, porque $y$ tiene signo fijo ahí cerca. Es derivar y evaluar, nomás.

04

Tiro oblicuo

Movimiento parabólico Aplicación física

▼

Consigna

En un partido de fútbol se patea la pelota con una velocidad de $15\,\text{m/s}$ formando un ángulo de $35°$ con la horizontal. Despreciando la resistencia del aire, calcular:

a) La altura máxima alcanzada por la pelota.

b) Cuál fue el alcance total de la pelota.

c) Tiempo total de vuelo.

d) Suponiendo que a los $10$ metros desde donde se pateó la pelota, un jugador del equipo contrario salta una altura de $3\,\text{m}$ para intentar frenar el pase. ¿Lo logra?

Lo que hace falta recordar

El tiro oblicuo se descompone en dos movimientos independientes: horizontal a velocidad constante y vertical con aceleración $-g$. Con $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ (el original no lo declara: es el valor estándar de cátedra) y ángulo $\theta$:

$$ v_{0x} = v_{0}\cos\theta \qquad v_{0y} = v_{0}\sin\theta $$

$$ x(t) = v_{0x}\,t \qquad y(t) = v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2}g\,t^{2} $$

La altura máxima se alcanza cuando la velocidad vertical se anula, y por simetría de la parábola el tiempo total de vuelo es el doble del tiempo de subida.

Desarrollo

1

Descomponer la velocidad inicial

$$ v_{0x} = 15\cos(35°) \approx 12{,}29\ \text{m/s} \qquad v_{0y} = 15\sin(35°) \approx 8{,}60\ \text{m/s} $$

2

a) Altura máxima

Se anula $v_y(t) = v_{0y} - gt$ para hallar el tiempo de subida, y se evalúa $y(t)$ ahí. Combinando las dos ecuaciones queda la fórmula directa:

$$ t_{subida} = \frac{v_{0y}}{g} \approx \frac{8{,}60}{9{,}8} \approx 0{,}88\ \text{s} \qquad h_{max} = \frac{v_{0y}^{2}}{2g} \approx \frac{8{,}60^{2}}{19{,}6} \approx 3{,}78\ \text{m} $$

3

c) Tiempo total de vuelo

La pelota sale y llega al piso a la misma altura, así que por simetría de la parábola el descenso tarda lo mismo que la subida:

$$ t_{vuelo} = 2\,t_{subida} \approx 1{,}76\ \text{s} $$

4

b) Alcance total

En el eje horizontal no hay aceleración: alcanza con multiplicar la velocidad horizontal por el tiempo total de vuelo.

$$ d = v_{0x}\cdot t_{vuelo} \approx 12{,}29 \times 1{,}76 \approx 21{,}57\ \text{m} $$

5

d) La altura de la pelota a los 10 m

Primero, en qué instante la pelota pasa por $x=10$:

$$ t_{10} = \frac{10}{v_{0x}} \approx \frac{10}{12{,}29} \approx 0{,}81\ \text{s} $$

Y con ese tiempo, su altura en ese instante:

$$ y(t_{10}) = v_{0y}\,t_{10} - \tfrac{1}{2}g\,t_{10}^{2} \approx 8{,}60 \times 0{,}81 - 4{,}9 \times 0{,}81^{2} \approx 3{,}76\ \text{m} $$

6

Comparar contra el salto

El jugador llega a $3\,\text{m}$ de altura; la pelota pasa a $3{,}76\,\text{m}$ — unos $76\,\text{cm}$ por encima de su alcance máximo.

Resultado

$$ h_{max} \approx 3{,}78\ \text{m} \qquad d \approx 21{,}57\ \text{m} \qquad t_{vuelo} \approx 1{,}76\ \text{s} $$

d) No lo logra. A los $10\,\text{m}$ la pelota pasa a ${\approx}\,3{,}76\,\text{m}$ de altura, y el jugador solo llega a $3\,\text{m}$: la pelota pasa por encima, con unos $76\,\text{cm}$ de margen.

Elvira

Buen chequeo de sensatez: a los $10\,\text{m}$ todavía no se llegó a la altura máxima (eso pasa a los $t_{subida}\approx0{,}88\,\text{s}$, con $x\approx10{,}8\,\text{m}$). O sea que la pelota sigue subiendo cuando pasa sobre el jugador — si el salto no alcanza ahí, mucho menos un instante después, en el punto más alto.