Este es el primero de dos apuntes sobre derivadas. Acá construimos la idea desde cero: de la recta secante a la tangente, la definición formal por límite, y la "fábrica" que te da la función derivada. En el siguiente apunte vemos las reglas (potencia, producto, cociente, cadena) para derivar sin pasar por el límite cada vez.
Al terminar vas a poder:
Explicar por qué la derivada nace de la recta secante que se transforma en tangente.
Calcular \( f'(a) \) en un punto usando las dos formas equivalentes de la definición.
Obtener la función derivada completa \( f'(x) \) por definición, incluso con raíces.
Reconocer de memoria la tabla de derivadas elementales.
Imaginá que tenés una curva \( f(x) \) y querés conocer la inclinación exacta de esa curva en un único punto \( x = a \). El problema es que la pendiente, tal como la conocemos de la recta, necesita dos puntos para calcularse. Con uno solo no alcanza. La salida a esto es un truco en tres pasos.
Llamamos \( a \) a un punto fijo y \( b \) a otro punto cualquiera de la curva. La recta que une \( (a, f(a)) \) con \( (b, f(b)) \) se llama recta secante (porque corta a la curva en dos lugares). Su pendiente sí la sabemos calcular, porque tenemos dos puntos:
$$ m_S = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$Renombramos \( b \) como \( x \), un punto que se puede mover libremente sobre la curva. La fórmula queda igual, solo cambia el nombre de la variable:
$$ m_S = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} $$Si simplemente reemplazás \( x = a \) en la fórmula de arriba, te queda \( \frac{f(a)-f(a)}{a-a} = \frac{0}{0} \), una indeterminación: no podés dividir por cero. Para resolver esto sin caer en la indeterminación, no reemplazamos directamente: dejamos que \( x \) se acerque a \( a \) tanto como queramos, sin llegar a tocarlo. Eso es justamente lo que hace un límite.
A medida que \( x \) se acerca a \( a \), el segundo punto de la secante se va arrimando al primero. La recta secante va rotando, cada vez más parecida a una sola recta: la recta tangente en \( x = a \). La derivada es, exactamente, la pendiente de esa recta tangente.
Cuando x → a, la secante se transforma en la tangente
Gema
Mirá el gráfico de la próxima sección: ahí podés mover un deslizador y ver en vivo cómo, a medida que el punto móvil se acerca al fijo, la secante se va acomodando hasta calzar perfecto con la tangente. Es el mismo dibujo, pero animado.
Antes de la fórmula, jugá un poco con este gráfico interactivo. Moví el deslizador y fijate cómo el punto sobre la curva se desplaza, y la recta tangente lo acompaña, cambiando de pendiente en cada lugar.
La derivada de \( f \) en el punto \( x = a \), que anotamos \( f'(a) \), se puede escribir de dos maneras equivalentes. Las dos representan exactamente la misma idea: la pendiente de la recta tangente en \( x=a \).
Las dos fórmulas dicen lo mismo, solo cambia cómo nombramos la distancia entre los dos puntos. Veamos por qué son equivalentes.
Llamamos \( h = x - a \). Esta es la "separación" entre el punto móvil \( x \) y el punto fijo \( a \).
De \( h = x - a \), sumamos \( a \) en ambos miembros y obtenemos \( x = a + h \). Esto nos permite escribir \( f(x) \) como \( f(a+h) \).
Cuando \( x \to a \), la distancia \( h = x - a \) se va achicando hasta valer cero. Por eso \( x \to a \) equivale a \( h \to 0 \). Reemplazando \( x \) por \( a+h \) y \( x-a \) por \( h \) en la Forma 1, llegamos exactamente a la Forma 2.
- \( f \) tiene que estar definida en un entorno de \( a \) (no puede haber un "agujero" justo en \( a \)).
- El límite tiene que existir y ser finito. Si el límite no existe, o tiende a infinito, la función no es derivable ahí.
- Si \( f'(a) \) existe, decimos que \( f \) es derivable en \( x = a \).
Elvira
Traducción simple: la derivada en un punto es un número, no una función. Ese número es la pendiente de la recta tangente justo ahí. Palabras clave para no perderte: pendiente, tangente, límite, valor numérico.
Hallar \( f'(1) \) para \( f(x) = 2x^2 - 8 \), usando la Forma 2 (con \( h \to 0 \)).
Reemplazamos \( x \) por \( 1+h \) en la fórmula de \( f \), y desarrollamos el cuadrado del binomio \( (1+h)^2 = 1 + 2h + h^2 \):
$$ f(1+h) = 2(1+h)^2 - 8 = 2\left(1 + 2h + h^2\right) - 8 $$Distribuimos el 2 y agrupamos los términos numéricos (\(2 - 8 = -6\)):
$$ f(1+h) = 2 + 4h + 2h^2 - 8 = 2h^2 + 4h - 6 $$Reemplazamos directamente \( x=1 \) en \( f(x) = 2x^2-8 \):
$$ f(1) = 2 \cdot 1^2 - 8 = 2 - 8 = -6 $$Restamos \( f(1+h) - f(1) \). Atención al signo: restar \( -6 \) es sumar \( 6 \):
$$ f(1+h) - f(1) = \left(2h^2 + 4h - 6\right) - (-6) = 2h^2 + 4h - 6 + 6 = 2h^2 + 4h $$El \(-6\) y el \(+6\) se cancelan entre sí. Eso siempre pasa en este tipo de cuentas: los términos sin \(h\) (los constantes) se cancelan, porque \(f(1+h)\) y \(f(1)\) comparten el mismo valor constante de fondo.
$$ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{2h^2 + 4h}{h} $$Sacamos \( h \) como factor común en \( 2h^2 + 4h \), ya que ambos términos lo contienen:
$$ 2h^2 + 4h = h\left(2h + 4\right) $$Ahora el cociente tiene \( h \) tanto arriba como abajo. Como \( h \to 0 \) pero nunca llega a valer exactamente cero dentro del límite, podemos cancelar:
$$ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{h\left(2h + 4\right)}{h} = \lim_{h \to 0} \left(2h + 4\right) $$Una vez cancelado el \( h \) del denominador, ya no hay indeterminación. Reemplazamos \( h = 0 \) directamente:
$$ f'(1) = 2(0) + 4 = \boxed{4} $$Interpretación. La recta tangente a \( f(x) = 2x^2-8 \) en \( x=1 \) tiene pendiente \( 4 \): la curva sube bastante rápido en ese punto.
Hallar \( f'(4) \) para \( f(x) = \sqrt{x} \), usando la Forma 2.
Si reemplazás \( h=0 \) directamente, te queda \( \frac{\sqrt{4}-2}{0} = \frac{0}{0} \): indeterminación. El problema es la raíz en el numerador, que no se puede factorizar con \( h \) como en el ejemplo anterior. La salida es multiplicar y dividir por el conjugado.
El conjugado de \( \sqrt{4+h} - 2 \) es \( \sqrt{4+h} + 2 \) (mismo binomio, signo del medio cambiado). Multiplicar por \( \frac{\text{conjugado}}{\text{conjugado}} \) no altera el valor de la expresión, porque equivale a multiplicar por 1:
$$ \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h} \cdot \frac{\sqrt{4+h} + 2}{\sqrt{4+h} + 2} $$Usamos la identidad \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) con \( a = \sqrt{4+h} \) y \( b = 2 \). El numerador se convierte en \( (\sqrt{4+h})^2 - 2^2 = (4+h) - 4 \). La raíz desaparece, que es justamente el objetivo del truco:
$$ = \lim_{h \to 0} \frac{(4+h) - 4}{h\left(\sqrt{4+h} + 2\right)} $$En el numerador, \( (4+h) - 4 = h \): el \(4\) y el \(-4\) se cancelan, queda solo \( h \). Ahora tenemos \( h \) arriba y abajo, y podemos cancelarlo:
$$ = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h\left(\sqrt{4+h} + 2\right)} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{4+h} + 2} $$Ya no queda \( h \) en el denominador, así que reemplazamos \( h=0 \) directamente:
$$ f'(4) = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2+2} = \boxed{\dfrac{1}{4}} $$Interpretación. La pendiente de la tangente a \( f(x)=\sqrt{x} \) en \( x=4 \) es \( \tfrac{1}{4} \): la raíz crece, pero cada vez más despacio.
Gema
¡Truco clave! Cada vez que te aparezca una resta de raíces en el numerador del cociente incremental, multiplicá y dividí por el conjugado. Se usa la identidad \((a-b)(a+b) = a^2-b^2\) y las raíces desaparecen. Funciona siempre.
Hallar \( f'(a) \) para \( f(x) = \dfrac{1}{x} \), con \( a \neq 0 \) fijo pero arbitrario. Acá el desafío es que no tenemos un número concreto: trabajamos con la letra \( a \) durante todo el cálculo.
Para restar \( \frac{1}{a+h} - \frac{1}{a} \) necesitamos común denominador, que es \( a(a+h) \). Multiplicamos cada fracción por lo que le falta para llegar a ese denominador común:
$$ \frac{1}{a+h} - \frac{1}{a} = \frac{a}{a(a+h)} - \frac{a+h}{a(a+h)} = \frac{a - (a+h)}{a(a+h)} $$En \( a - (a+h) \), distribuimos el signo negativo: \( a - a - h = -h \). El \(a\) y el \(-a\) se cancelan, queda solo \(-h\):
$$ \frac{1}{a+h} - \frac{1}{a} = \frac{-h}{a(a+h)} $$Recordá que dividir por \( h \) es lo mismo que multiplicar por \( \frac{1}{h} \). Aplicado al resultado del paso anterior:
$$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \frac{-h}{a(a+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h \cdot a(a+h)} $$El \(h\) del numerador se cancela con el \(h\) del denominador. Ya sin indeterminación, reemplazamos \(h=0\):
$$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{a(a+h)} = \frac{-1}{a \cdot a} = \boxed{-\dfrac{1}{a^2}} $$Interpretación. Como \( a \) representa cualquier punto del dominio (\( a \neq 0 \)), este resultado nos dice que la derivada de \( \frac{1}{x} \) en cualquier punto es \( -\frac{1}{a^2} \): siempre negativa, porque la función siempre decrece en cada una de sus dos ramas.
Hasta ahora calculamos la derivada en un punto fijo (\(x=1\), \(x=4\), \(x=a\) con \(a\) número concreto). Pero si en vez de fijar un valor dejamos que \( x \) sea variable, lo que obtenemos no es un número: es una función nueva, la función derivada.
Es una "fábrica": le metés un \(x_0\) cualquiera y te devuelve \(f'(x_0)\), la pendiente de la tangente justo en ese punto. Una vez que tenés \(f'(x)\), ya no necesitás repetir el límite para cada punto nuevo.
Hallar la función derivada de \( f(x) = 2x^2 - 8 \) (la misma función del Ejemplo 1 anterior, pero ahora generalizada).
Reemplazamos \(x\) por \(x+h\) en toda la expresión, y desarrollamos el binomio \((x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2\):
$$ f(x+h) = 2(x+h)^2 - 8 = 2\left(x^2 + 2xh + h^2\right) - 8 = 2x^2 + 4xh + 2h^2 - 8 $$Restamos \(f(x+h) - f(x) = \left(2x^2 + 4xh + 2h^2 - 8\right) - \left(2x^2 - 8\right)\). Los términos \(2x^2\) se cancelan entre sí, y los \(-8\) también:
$$ f(x+h) - f(x) = 4xh + 2h^2 $$ $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{4xh + 2h^2}{h} $$Sacamos \(h\) como factor común del numerador: \(4xh + 2h^2 = h(4x+2h)\). Cancelamos el \(h\) con el del denominador y luego evaluamos en \(h=0\):
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h(4x + 2h)}{h} = \lim_{h \to 0} (4x + 2h) = \boxed{4x} $$Verificación. Si evaluamos esta función derivada en \(x=1\), debería coincidir con el resultado puntual del Ejemplo 1 de la sección anterior: \( f'(1) = 4 \cdot 1 = 4 \). Coincide.
Hallar la función derivada de \( f(x) = \sqrt[3]{x} \). Acá la dificultad sube: necesitamos una factorización distinta a la diferencia de cuadrados, porque tenemos una raíz cúbica.
Multiplicamos numerador y denominador por el factor \(a^2+ab+b^2\), que es el que "completa" el cubo y elimina la raíz. Con \(a=\sqrt[3]{x+h}\) y \(b=\sqrt[3]{x}\), tenemos \(a^3-b^3 = (x+h)-x = h\).
Con \(a = \sqrt[3]{x+h}\) y \(b=\sqrt[3]{x}\), multiplicamos arriba y abajo por \(a^2+ab+b^2\):
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)}{h\left(a^2+ab+b^2\right)} $$Por la identidad de factorización, el numerador \((a-b)(a^2+ab+b^2)\) es exactamente \(a^3-b^3\). Y como \(a^3 = x+h\) y \(b^3 = x\), el numerador se simplifica a \(h\):
$$ a^3 - b^3 = (x+h) - x = h $$ $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h\left(a^2+ab+b^2\right)} $$Cancelamos el \(h\) de numerador y denominador. Cuando \(h \to 0\), tanto \(a = \sqrt[3]{x+h}\) como \(b=\sqrt[3]{x}\) tienden al mismo valor \(\sqrt[3]{x}\):
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{a^2+ab+b^2} = \frac{1}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^2 + \sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[3]{x} + \left(\sqrt[3]{x}\right)^2} $$Los tres términos del denominador son iguales a \(x^{2/3}\), así que se suman directamente:
$$ f'(x) = \frac{1}{3\,x^{2/3}} = \boxed{\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}} $$Verificación. En \(x=8\): \(f'(8) = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{64}} = \dfrac{1}{3\cdot 4} = \dfrac{1}{12}\). El mismo truco de completar el exponente funciona para cualquier raíz n-ésima: cuanto mayor el índice, más términos hay que "completar" en el factor multiplicador.
Elvira
Ojo con la diferencia: la derivada en un punto da un número. La función derivada da una función completa. Es la diferencia entre "la pendiente en \(x=1\)" y "la fórmula de la pendiente para cualquier \(x\)".
Calcular cada derivada por definición, límite por límite, sería agotador. Por eso existe esta tabla: las derivadas de las funciones más usadas, ya calculadas de una vez y para siempre por definición. Tenela siempre a mano.
| f(x) | f'(x) | Nota |
|---|---|---|
| \( x^n \) | \( n \cdot x^{n-1} \) | Regla de la potencia (próximo apunte) |
| \( \sin(x) \) | \( \cos(x) \) | |
| \( \cos(x) \) | \( -\sin(x) \) | Ojo con el signo |
| \( \tan(x) \) | \( \sec^2(x) \) | |
| \( a^x \) | \( a^x \cdot \ln(a) \) | \( a>0,\ a\neq 1 \) |
| \( e^x \) | \( e^x \) | Caso particular: \(\ln(e)=1\) |
| \( \log_a(x) \) | \( \dfrac{1}{x\cdot\ln(a)} \) | \( x>0 \) |
| \( \ln(x) \) | \( \dfrac{1}{x} \) | Caso particular: \(\ln(e)=1\) |
Gema
Esta tabla la vas a usar todo el cuatrimestre. La fila más importante para arrancar es la primera: la regla de la potencia. En el próximo apunte la combinamos con las otras tres reglas para derivar funciones bien complicadas sin tocar un límite.
\(f(3) = 9-12+1 = -2\). Restamos: los \(-2\) se cancelan, queda \(h^2+2h\).
$$ f(3+h)-f(3) = (h^2+2h-2)-(-2) = h^2+2h $$Verificación rápida. Como \(f\) es una parábola con vértice en \(x=2\), en \(x=3\) (a la derecha del vértice) la pendiente debe ser positiva. Coincide con el \(2\) obtenido.
Usamos \(f(4)=\sqrt{9}=3\) y \(f(4+h)=\sqrt{9+h}\).
Verificación. El resultado es positivo y menor que \(1\), coherente con una raíz que crece cada vez más despacio.
\(3x^2\), \(-x\) y \(+1\) se cancelan con los mismos términos de \(f(x)\), porque no dependen de \(h\):
$$ f(x+h)-f(x) = 6xh+3h^2-h $$Verificación. Si evaluás en \(x=0\): \(f'(0)=-1\). Chequealo directamente con el límite en ese punto particular y vas a obtener el mismo valor.
El común denominador es \((x+h+2)(x+2)\). Restamos los numeradores:
$$ \frac{1}{x+h+2}-\frac{1}{x+2} = \frac{(x+2)-(x+h+2)}{(x+h+2)(x+2)} = \frac{-h}{(x+h+2)(x+2)} $$En el numerador, \((x+2)-(x+h+2) = x+2-x-h-2 = -h\): los términos \(x\) y \(2\) se cancelan, queda solo \(-h\).
Verificación. En \(x=-1\): \(f'(-1) = -\dfrac{1}{1} = -1\), un valor negativo coherente con que \(\frac{1}{x+2}\) decrece a la derecha de su asíntota.
Escribimos \(f(x) = x^{2/3}\). Este ejercicio combina dos ideas: la técnica de completar el exponente del Ejemplo 2 de la sección anterior, aplicada ahora a un exponente \(2/3\) en vez de \(1/3\).
Para no perdernos en la raíz, llamamos \(u = 8+h\). Cuando \(h\to 0\), \(u \to 8\). El límite se reescribe en términos de \(u\):
$$ \lim_{u\to 8} \frac{u^{2/3} - 8^{2/3}}{u-8} $$Esta expresión es exactamente la definición de \(f'(8)\) para \(f(x)=x^{2/3}\), usando la Forma 1 del límite.
Aplicando el mismo procedimiento de completar el exponente que en el Ejemplo 2 (pero ahora con exponente \(2/3\)), se obtiene de forma general \(f'(x) = \dfrac{2}{3}x^{-1/3}\). Evaluamos en \(x=8\):
$$ f'(8) = \frac{2}{3}\cdot 8^{-1/3} = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{8}} = \frac{2}{3\cdot 2} = \boxed{\dfrac{1}{3}} $$Verificación. El resultado es positivo, coherente con que \(x^{2/3}\) crece para \(x>0\), aunque cada vez más despacio (concavidad hacia abajo).
Este ejercicio integra todo lo visto: primero la función derivada general, después una evaluación puntual, y por último la verificación cruzada con el método directo.
\(f(x+h) = (x+h)^2+3(x+h) = x^2+2xh+h^2+3x+3h\). Restamos \(f(x)\): los términos \(x^2\) y \(3x\) se cancelan, queda \(2xh+h^2+3h\).
$$ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{2xh+h^2+3h}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{h(2x+h+3)}{h} = \lim_{h\to 0}(2x+h+3) = \boxed{2x+3} $$\(f(2+h) = (2+h)^2+3(2+h) = 4+4h+h^2+6+3h = h^2+7h+10\). Como \(f(2)=4+6=10\), restamos: el \(10\) se cancela.
$$ f'(2) = \lim_{h\to 0}\frac{h^2+7h}{h} = \lim_{h\to 0}(h+7) = 7 $$Verificación. Los dos caminos (función derivada general evaluada en \(2\), y cálculo directo en \(x=2\)) dan el mismo resultado: \(\boxed{7}\). Así debe ser siempre: la función derivada es solo una forma más eficiente de llegar al mismo número.
¿Encontraste algo que no cuadra? Un signo, un despeje, un gráfico que no carga, un link roto — contámelo y lo corrijo. Este apunte se hace mejor entre todos: cada aviso suma para que vos y toda la comunidad Insighters puedan estudiar con el mejor material posible. ¡Gracias!